Роль нестандартных задач при обучении математике

Проанализировав литературе по методике, можно выделить три уровня, познания математики:

1.Уровень общих знаний

• Умение: Определение понятий, свойства объектов, основные алгоритмы и т.п.

2.Уровень понимания

• Умение: Выделить составляющие понятия, объяснить между ними связи, использовать в конкретной ситуации определенные алгоритмы или их комбинацию.

3.Компетентностный уровень

• Умение: Применить свои знания в незнакомой ситуации, способность эффективно решать проблемные ситуации, овладевать новой информацией для успешного применения ее в конкретных условиях.

В современном мире математические образование ставит другие приоритеты, нежели ранее, оно нацелено не только на приобретение теоретических знаний «раз и на всю жизнь», но так же на осознанное применение их в нетипичных жизненных ситуациях.

Сейчас в школе акценты сдвигаются и упор необходимо делать не на заучивание фактов, а на компетентностный подход к образованию. В связи с этим перед учителем стоит непростая задача не только передать обучающимся необходимые знания, умения и навыки, соответствующие программе, но так же подготовить их самостоятельно анализировать и действовать в различных нестандартных ситуациях, то есть овладевать навыками на более высоком уровне.

Анализируя различную литературу, я нашла статью В.Н.Белобородова «Стартовый контроль по математике в пятом классе», опубликованную в журнале «Математика в школе».

Исследования показали, что пятиклассники плохо решают задания, сформулированные в непривычной для них форме, требующие проведения минимального анализа, плохо осуществляют прикидку и оценку результатов вычислений. Данная проблема тянется за детьми на протяжении всей школьной жизни, и я сама неоднократно сталкивалась с такой проблемой на практике.

Применение производной позволяет более эффективно решать многие задачи повышенной сложности, требует от обучающихся нетрадиционного мышления. Следует отметить, что знание нестандартных методов и приемов решения задач способствует развитию нового, нешаблонного мышления, которое можно успешно применять также и в других сферах человеческой деятельности (вычислительная техника, экономика, физика, химия и т.д.) Здесь приходится подбирать метод решения задачи, проверять условия его применимости, анализировать полученные результаты. По существу, зачастую проводится небольшое математическое исследование, в процессе которого развиваются логическое мышление, математические способности, повышается математическая культура.

Для многих задач элементарной математики допускается как «элементарное», так и «неэлементарное» решение. Применение производной дает как правило более эффективное решение.

Раскрытие понятия производной

Производная – это основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции. Производной функции в точке называется отношение прироста функции к приращению аргумента, при условии, что последний стремится к нулю.

Ряд задач дифференциального исчисления был разрешен еще в древности.

Открытию производной и основ дифференциального исчисления предшествовали работы французских математиков Пьера Ферма (1601-1665), который в 1629 предложил способы нахождения наибольших и наименьших значений функций, проведение касательных к произвольным кривых, фактически опирались на применение производных а также Рене

Декарта (1596-1650), разработавший метод координат и базы аналитической геометрии.

Такую символику он применил во время работы над «Размышления над квадратурами кривых» (примерно 1690 г), а в печати она появилась в письмах Ньютона к Валлису в 1693 г. В ранних трудах Ньютона используются только флюксия первого порядка, флюксия высших порядков появляются в 90-х годах [1].

Для доказательства своего правила Ньютон, используя в основном теорему Ферма, что рассматривает бесконечно малый прирост времени dt.

Обозначения производной предложенное Лейбницем было одним из первых. Оно широко используется до сих пор. Если выражение y= f(x) рассматривается как функциональная зависимость между зависимой и независимой переменными, тогда первая производная обозначается как

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считается май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов...».

Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением [2].

Термин «производная» ввел в 1797 году французский математик Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813). Он ввел и современное обозначение производной "и" y "f (x).

К. Лагранж производную по предложению Лейбница называл дифференциальным коэффициентом. Сам термин «производная» впервые встречается у француза Луи Арбогаста в его труде «деривационного вычисления», опубликованной в Париже в 1800 году. Этим термином сразу же стал пользоваться и Лагранж, а впоследствии этот срок быстро вошел в общее пользование [2, с. 3].

Итак, Ньютон пришел к понятию производной, решая задачу о мгновенную скорость, а Лейбниц - рассматривая геометрическую задачу о проведения касательной к кривой.

Изучение свойств и способов вычисления производных и их применение к исследованию функций составляет главный предмет дифференциального исчисления. Создание дифференциального исчисления (вместе с интегральным) открыло новую эпоху в развития математики. С этим связаны такие дисциплины как теория рядов, теория дифференциальных уравнений и многие другие. Методы математического анализа нашли применение во всех разделах математики.