Причина рассмотрения этой темы стала неэффективность традиционной системы обучения, поскольку задачу, стоящую перед образованием, можно сформулировать так: «от школы памяти» - к «школе мышления» и далее – к «школе развития».

Этот вопрос рассматривается на протяжении нескольких лет разными учеными. Так, в 30е годы Выгодский Л.С определил её как «соотношение обучения развития», а в 60 – 70 годы Менчинский М.А считал, что «формирования теоретического (абстрактного) мышления» - важная, но далеко не единственная задача. Выяснение разных типов мышления, анализ их значимости для различных областей познания, развития личности, создание условий их становления через овладение учебными предметами».

Д.Б. Эльконин и В.В.Давыдов в 90 годы – более глубоко рассматривал этот вопрос, по мнению В.В. Давыдова и его последователей «организация обучения по теоретическому типу – это развитие ума». За эталон развития – показали: рефлективность; целеполагания; планирование; обмен продуктами познания. [1].

И.С.Якиманская в своих трудах «Знание и мышление школьников»[2], «Развивающее обучение»[3] говорит: «Знание - это реализация информации». Цель связать эту информацию с развитием.

Автор Н.В.Репкин в своей книге «Что такое развивающее обучение»[4] пишет: «Постановка учебной задачи, её совместное с учащимися решение, организация оценки найденного способа действия – таковы три составляющие того метода, который адекватен целям и задачам развивающего обучения…».

Известный советский психолог А.Н. Леонтьев обоснованно считал, что «жизненный, правдивый подход к воспитанию – это такой подход к отдельным воспитательным и даже образовательным задачам, который исходит из требований к человеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этого вооружен, какими должны быть знания, его мышления, чувства и т. д.»[5].

Следовательно, организуя и проводя обучение математике, необходимо все время иметь в виду тот идеал человека, который создан нашим обществом.

То есть одной из первоочередных и важнейших является задача развития мышления школьников.

Мышление, конечно, относится к общим качествам, и его формирование происходит в процессе обучения всем учебным предметам, и в процессе всей жизни. Однако общепризнано, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Тем более что в данное время выдвигается задача формирования у школьников не любого мышления, а научно – теоретического, в формировании которого роль математики еще более значительна.

Вот, что по этому поводу пишет академик АПН СССР В.В.Давыдов: «Решение коренных задач современного школьного образования, в конечном счете, связано с изменением типа мышления, проектируемого целями, содержанием и методами обучения. Всю систему обучения необходимо ориентировать с формирования у детей рассудочно – эмпирического мышления на развитие у них современного научно – теоретического мышления» [6].

Говоря о развитии мышления в процессе обучения математике, мы говорим о развитии математического мышления школьников. В процессе обучения математике, следует в первую очередь беспокоиться не вообще о развитии мышления, а именно о развитии специфического математического мышления. Так известный математик А.Я.Хинчик, глубоко интересующийся проблемами обучения математике указал лишь четыре характерных признака математического мышления:

«Для математики характерно доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения. Это своеобразная черта стиля математического мышления, в столь полной мере не встречающаяся ни в одной другой науке, имеет в себе много ценного. Очевидно, что она в максимальной степени позволяет следить за правильностью течения мысли и гарантирует от ошибок…»

«… лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, беспощадное отбрасывание всего, что не абсолютно для безупречной аргументации».

«..четкая расчлененность хода аргументации». Для этого в математических работах широко используется такой простой прием, как нумерация понятий и рассуждений. А перед каждым абзацем ставится особое обозначение, указывающее, какой случай из всех рассматривается в данном абзаце.

Скрупулезная точность символики. «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановки на другое место, как правило, влечет за собой искажение, а подчас и полное уничтожение смысла данного высказывания» [7].

Так как математическое мышление – это предельно абстрактное, теоретическое мышление, объекты которого лишены всякой вещественности и могут интерпретироваться самым произвольным образом. То можно поставить вопрос: овладевают ли школьники общеобразовательных школ математическим мышлением в указанном понимании, и могут ли они им овладеть?

Решению этого вопроса поможет рассмотрение уровней математического мышления, которые выделил А.А.Столяров [8]. Он указывает следующие пять уровней в геометрии и алгебре, которые приводятся параллельно.

Геометрия Арифметика и алгебра

1 –й уровень

Геометрические фигуры рассматриваются как целые и различаются только по своей форме. Число неотделимо от множества конкретных предметов, которое оно характеризует. А операции проводятся непосредственно над множествами предметов.

2 –й уровень

Геометрические фигуры выступают как носители своих свойств и распознаются по ним, но сами свойства фигур еще логически не упорядочены, так как фигуры только описываются, но не определяются Числа уже отделены от конкретных объектов, которые они характеризуют; при этом оперируют с числами, записанными в определенной системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно.

3 –й уровень

Осуществляется логическое упорядочение свойств фигур и самих фигур; геометрические фигуры выступают в определенной логической связи, устанавливаемой с помощью определений, остальные свойства фигур выводятся логическим путем. Но собственное знание дедукции в целом еще не постигается, ибо не осознается Переход от конкретных чисел, выражаемых цифрами, к абстрактным буквенным выражениям. Осуществляется «локальное» логическое упорядочение свойств чисел и операций.

4 –й уровень

Постигается значение дедукции «в целом», осознается сущность аксиом, определений, теорем, логической структуры доказательств, логической связи понятий и предложений. Выясняется возможность дедуктивного построения всей алгебры в заданной конкретной интерпретации.

5–й уровень

Отвлекается от конкретной природы объектов и конкретного смысла отношений между ними. Геометрическая теория строится как абстрактная дедуктивная система. Отвлекается от конкретной природы объектов исчисления, от конкретного смысла операций и строят алгебру как абстрактную дедуктивную систему вне всякой интерпретации.

А.А.Столяр указывает, что первые два уровня характерны для учащихся начальных классов, третий уровень – для учащихся средних классов и четвертый (в области геометрии) – для учащихся старших классов. Что касается алгебры, то он указывает, что «в отличие от преподавания геометрии, которое достигает, хотя и не полностью, четвертого уровня, традиционное преподавание алгебры не поднимается выше третьего уровня, причем этот уровень достигается не полностью».

Относительно пятого уровня А.А.Столяр считает, что его достичь нельзя ни на одном этапе обучения геометрии и тем более алгебры.

Однако это утверждение опровергается опытом ряда школ, как у нас, так и за рубежом, а также многолетними экспериментами, проводимыми в русле теории учебной деятельности (исследования В.В.Давыдова, Хо Нгок Дай, Я.Дадоджанова и др.).

Математическое мышление, которое должно быть сформировано в процессе обучения математике, является составной частью общей культуры мышления, воспитание которое является важнейшей задачей общего образования. Математический стиль мышления в наиболее яркой форме выражает научно – теоретический стиль мышления вообще. Следовательно, при формировании такого стиля мышления в процессе обучения математике у учащихся развивается и научно – теоретическое мышление[9].

Сегодня учитель может познакомиться с целым рядом исследований, объединенных стремлением выявить и описать психологические характеристики разных типов мышления (эмпирического, теоретического) в русле концепции В.В.Давыдова.

В исследованиях В.В.Давыдова и А.З. Зака было показано, что математическое мышление так же имеет эмпирический и теоретический типы функционирования и развивается в направлении от эмпирического уровня к рефлектирующему уровню теоретического мышления. Полноценным теоретическим математическим мышлением является его рефлектирующий уровень. Он характеризуется самостоятельным выполнением учащимися заданий, требующих выделения генетически исходного отношения, правильным построениям в уме последовательности действий по решению задачи, краткостью их выполнения, самоконтролем.

Если учесть, что рефлексирование становится возможным и обнаруживается явно тогда, когда ученик решил математическую задачу, выявил содержащуюся в условии закономерность и выполнил мыслительное планирование, то можно сделать вывод, что ядром обучения математике должна стать задача (класс задач, сериал задач, решение задач различными методами и т д.)[10,11]

За последние годы наметился рост числа учителей начальных классов, работающих по программе развивающего обучения в системе Д.Б. Эльконина - В.В.Давыдова. Учитель, принимающий таких детей в V классе, должен владеть основными технологиями обучения в этой системе, чтобы достаточно полно реализовать их учебно – познавательный потенциал, приобретённый в начальной школе.

Курс математики V – VII классов содержит много вычислительных правил. Поэтому в первую очередь представляет интерес технология обучения правилам в системе развивающего обучения. В основу этой технологии положена теория учебной деятельности Д.Б. Эльконина - В.В.Давыдова.

Охарактеризуем кратко каждый из выделенных в таблице № 1 этапов, а затем проиллюстрируем на примере урока.

Мотивационно – ориентированная часть.

Этап актуализации. Цели: актуализация опорных знаний, необходимых для введения и обоснования правила, выявления того, освоен ли учащимися пооперационный состав действия на основе нового правила; создания «ситуации успеха» для последующей деятельности.

Основным средством актуализации являются специальные упражнения. На основе логико- математического анализа правила. Итогом данного этапа является ответ ученика на вопрос: «Готов ли я к изучению нового?» Поэтому обычно практикуется индивидуальное выполнение упражнений с последующей фронтальной проверкой.

Этап мотивации. Цель: формирование у каждого учащегося личной потребности в последующей деятельности, связанной с «открытием» нового правила.

Создав «ситуацию успеха» на первом этапе, учитель предлагает ребятам конкретную учебно-практическую задачу, которая по внешним признакам знакома им. Однако её решение вызывает серьёзное затруднение или приводит к нерациональным операциям. Так в сознании учащегося создаётся «ситуация интеллектуального конфликта», которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности.

Сначала каждый ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет помощь у других. Таким образом, на уроке возникает сотрудничество учащихся.

Этап постановки учебной задачи.

Цель: подведение учащегося к необходимости «открыть новое правило».

Ученики анализируют в группах затруднения, возникшие в связи конкретной учебно-практической задачей. Тем самым они пытаются отделить свои знания от незнания. Этот этап обычно заканчивается ответами школьников на вопрос: «Что же мы должны узнать, чтобы решить последнюю задачу?».

Итак, учащиеся сами формулируют цели урока, которые фиксируются на доске и в их тетрадях, например, в такой форме: «Открыть правило…».

Этап планирования. Цель: составление программы дальнейшей деятельности учащихся.

Выяснение коллективно характеристические свойства данных и искомых объектов, затем выделяем последовательность вопросов, поиск ответов на которые приведет к решению сформулированной выше учебной задачи.

II. Операционно-исполнительная часть.

Этап преобразования условия задачи. Цель: переформулировка условия задачи таким образом, чтобы можно было установить связи между характеристическими свойствами данных и искомых объектов.

Этап моделирования правила. Цель: создание модели для умножения одночленов, её анализ и уточнение.

Учащиеся пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе характеристические свойства данных и искомых объектов в виде некоторых моделей (графической или символьной). На этом этапе урока желательно прибегнуть к групповой форме. Каждая группа обычно создаёт свою модель. Результаты фиксируются не отдельных листах, которые по окончании работы крепятся на доске. Затем учитель организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель правила или корректируются предложенные. Таким образом, рождается коллективная модель правила. В процессе обучения ребята становятся более самостоятельными при создании моделей, которые все менее нуждаются в уточнении.

Этап преобразования правила. Цель: получение словесной формулировки правила.

После того как выявлена и уточнена модель правила, учащиеся пытаются в группах сформулировать словами само правило. Теперь модель выступает в роли внешней опоры для формулирования правила. Полезно сравнить отредактированный вариант формулировки правила с тем, который предложен в школьном учебнике.

В заключении целесообразно выделить последовательность операций, из которых состоит выполнение действия на основе правила, т.е. придумать ему алгоритмическую форму. Более того, уместно выделенную последовательность действий зафиксировать письменно в тетради по моделированию.

Этап отработки правила. Цели: осознание, осмысление правила; запоминание правила.

На этом этапе модель правила выступает в роли ориентировочной основы деятельности, в результате которой действие, построенное на новом правиле, должны перейти из внешнего плана во внутренний. С помощью специальной системы упражнений, к которой предъявляются в методике обучения математике определенные требования, происходит интериоризация действия. Ребятам предлагается выделить принципиально различные случаи по его применению. Таким образом, учение привлекает к составлению упражнений. Получается первый цикл заданий, который отвечает главному принципу системы упражнений – принципу полноты. Упражнения первого цикла класс решает фронтально, а учитель осуществляет пооперационный контроль за выполнением действия.

В следующий цикл учитель включает задания рефлексивного характера, например упражнения «с ловушкой», в которых предлагается найти задачи с преднамеренно допущенными ошибками при их решении. Очень полезно составлять словарь ошибок на данное правило. Так ученики выделяют ошибкоопасные случаи. Ребятам нравятся такие задания. Постоянно ученики вовлекаются в творческую деятельность, направленную на составление заданий с ловушкой и словарь ошибок.

III. Рефлексивно – оценочная часть.

Этапы контроля и оценки. Цели: оказание помощи учащимся овладеть способами и критериями самоконтроля и самооценки; определить уровни усвоения правила; выявить «точечные» затруднения в усвоении правила. Учитель подбирает или составляет сам систему заданий, с помощью которой можно диагностировать усвоение правила. Каждый ученик выполняет самостоятельно предложенные задания, а затем подвергает пооперационному контролю выполнение каждого из них, фиксируя свои выводы рядом с решением в виде последовательности знаков:

+ (если уверен в правильности выполнения операции),
- (если не знает, как выполнить операцию),
± (если не уверен в правильности выполненной операции).

Проверяя данную работу, учитель не исправляет допущенные учеником ошибки, но фиксирует их в своей тетради. Кроме того, сопоставляет последовательность знаков пооперационного контроля ученика с выполненными заданиями. На основе проведенного содержательного анализа он составляет вторую работу в виде тестов, где к каждому заданию предлагается несколько вариантов решений (правильных, неправильных, нерациональных), которые взяты непосредственно из первой работы самих учащихся.

Ученик индивидуально отвечает на вопросы теста. Потом учащиеся уточняют свои ответы в группах, а учитель организует совместное обсуждение результатов (если в этом есть необходимость). В заключение учитель раздаёт тетради с первой работой, ученик выполняет заново те задания, в которых, как он считает, допустил ошибку. Только теперь учитель ставит оценку, сравнивая результаты двух выполненных работ, чтобы убедиться в возможности ребят корректировать свою деятельность.

Естественно, что реализовать на одном уроке все перечисленные этапы учебной деятельности невозможно. Как правило, на первом уроке происходит «открытие правила». Этап отработки, достаточно длительный по времени, реализуется на нескольких уроках. Заключительным этапам также посвящаются отдельные уроки.

На первом уроке после изучения темы учитель предлагает ответить на вопросы: Какая задача стояла перед нами на предыдущем уроке? Как умножить одночлен на одночлен? Как возвести одночлен в степень?

Проводится «экспресс - контроль»:

Используется общеклассная форма работы, т.е. класс выполняет одно задания самостоятельно с последующей проверкой.

Технологическая карта урока математики по теме «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень»

Дата проведения

Учитель: Селезнёва Любовь Владимировна

Количество часов по теме «Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень»:

Место урока в данной теме: 1-ый

Формы работы: групповая, фронтальная, индивидуальная

Тип урока: урок изучения нового материала.

Цели урока: Организация деятельности учащихся по формированию навыков умножение одночленов, возведение одночлена в степень.

Задачи урока:

Создать условия для актуализации опорных знаний;
Организовать формулировку темы урока;
Организовать постановку учебной цели и учебных задач учащимися;
Способствовать деятельности учащихся по самостоятельному выводу правила умножения одночленов, возведение одночленов в степень;
Продолжить работу по формированию ответственности учащихся за свою деятельность на уроке, умений самостоятельно добывать знания, овладению способами и критериями самоконтроля и самооценки.

Основные этапы урока Задачи этапа Деятельность

учителя Деятельность

ученика Методы

обучения Прогнозируемый

результат Учебно-метододич. обеспечение План.

время

1.Организационный этап Психологическая подготовка к общению Обеспечивает благоприятный настрой. Настраиваются на работу, Словесные Психологическая готовность Организация внимания 1 мин

2) Проверка домашнего задания. Проверить уровень усвоения учащимися изучаемого материала, Контролирует правильность выполнения заданий, организует устранение пробелов в знаниях учащихся Проверяют домашнее задание Фронтальный опрос Правильно выполненное домашнее задание, коррекция ошибок Фронтальный опрос 2 мин

2.Актулизация опорных знаний Создать ситуацию, успеха, путем проверки владения материала прошлых уроков; Организует работу по актуализации опорных знаний

Упростите выражения:

а) ( а^2 ∙ а^4)/(а^3 ∶ а) ; б) (2х3у2)2; в)〖 х〗^(* )…..= х^15.

Найдите ошибку допущенную учеником:

(х5)4 ∙ (х6)8 = х^20 ∙ х^48= х^68;

(х5)4 : х^(7 )= х^11: х^(7 )= х^(4 );

(х5)4 ∙ х^(7 )= х^20 ∙ х^7= х^27;

а^3 ∙ а^5 ∶ а^6= а^9 ∶ а^6= а^3.

Вычислите:

(7^(3 )∙ 7^13)/7^14 . Решают выражения устно, проговаривают свойства, применяемые при решении.

практический Быстрая проверка опорных знаний Запись на доске и в тетрадях 3мин

3. Определение совместной цели деятельности Обеспечить деятельность по определению целей урока Создает проблемную ситуацию, объясняет учебную задачу, наблюдает, консультирует.

Приведите одночлен к стандартному виду.

8ав^2 ∙5а^3 в^2;

-3а^2 в ∙ (-4в^4 );

(-2а^3 в^4 )^2 ;

(-5х^3 у^4 )∙ (6х^2 у);

(0,5 х^3 у^2 z)^(3 )∙4〖х^2 z〗^5 у^7.

Сначала каждый ученик пытается решить задачу самостоятельно. После неудачных попыток он ищет помощь у других учащихся. Учащиеся анализируют и выполняют известные им действия, отвечают на вопросы учителя, обнаруживают, неизвестные им действия с одночленами, которые встречаются им впервые. Самостоятельно формулируют цели урока, которые фиксируются на доске и в их тетрадях, например, в такой форме: «Открыть правило…». Практические, словесные создание «ситуации интеллектуального конфликта», которая и формирует потребность в дальнейшей деятельности.

отвечают верно беседа 2 мин

5.Изучение нового материала способствовать деятельности учащихся по самостоятельному выводу правила умножения одночленов, возведение одночленов в степень Организует межгрупповую дискуссию, в ходе которой выделяется лучшая модель правила (если она имеется среди предложенных) или корректируются предложенные. Таким образом, рождается коллективная модель правила.

На конкретном примере,

〖(-2а^2 вс^3 )^5 = (-2)〗^5 ∙ (а^2 )^5 ∙ в^5 ∙ (с^3 )^5= -32а^10 в^5 с^15.

Используя полученные знания, совместно с ребятами составляется алгоритм действий, которые помогут при дальнейшей работе с одночленами.

пытаются зафиксировать выявленные на предыдущем этапе характеристические свойства данных и искомых объектов в виде некоторых моделей (графической или символьной). Каждая группа создаёт свою модель. Результаты фиксируются не отдельных листах, которые по окончании работы крепятся на доске. Пытаются в группах сформулировать словами само правило. Придумывают ему алгоритмическую форму, выделяют последовательность действий, зафиксируют письменно в тетради по моделированию. Практические, словесные Верное составление словесной формулировки правила, составление алгоритма действий беседа 12 мин

4. Первичное применение знаний Установить правильность составленного алгоритма и осознанность изученного 1)Предлагает выполнить задания, осуществляет пооперационный контроль за выполнением действия. 2)Предлагает задания с «ловушкой» с последующим составлением словаря ошибок на данное правило

(у^3 )^4 ∶ (у^2 )^5= у^12 ∶ у^7=у^5;

(у^8 )^(2 )∙ (у^2 )^3= у^16 ∙ у^6= у^22;

(х^5 )^(4 )∙ (х^6 )^(7 )= х^20 ∙ х^48= х^68;

(х^5 )^4 ∶ х^(7 )= х^(11 ): х^7= х^4. 1)Выполняют задания № 22.1 (устно) , №22.4(а, б) - комментируют , № 22.5(а, б), № 22.8 (а, б) – у доски.. 2)Находят задачи с преднамеренно допущенными ошибками при их решении. Составляют словарь ошибок на данное правило. практические Выполнят верно. Составляют словарь ошибок на данное правило. Выполняют задания устно, на доске и в тетрадях 13 мин

7. Контроль и самопроверка знаний Выявить качество усвоения материала Предлагает ответить на вопросы: Какая задача стояла перед нами на предыдущем уроке? Как умножить одночлен на одночлен? Как возвести одночлен в степень?

Проводит «экспресс - контроль»:

Представьте выражения в виде одночлена стандартного вида:

(〖3а〗^3 с^2 )^4;

(1/2 авс)^3;

(0,5а)^2 ∙4в;

〖-0,4а〗^5 в^7 ∙ (2а)^3;

-(〖-а〗^2 в^4 ) ∙ (6а^4 в)^2.

Собирает работы, предварительно предупредив, что оценка будет выставлена после проверки работ учителем. Каждый ученик работает по отдельной карточке, ставят себе оценку.

самоконтроль Выполнили верно Проверяют выполненные задания с ответами на доске

7мин

6. Подведение итогов. Рефлексия Дать оценку работы класса Подводит итоги урока, ставит задачи на следующий урок Заполняют листы самоконтроля самооценка Осмысление результатов своей работы Листы самоконтроля 3 мин

7.Информация о домашнем задании Обеспечить понимание содержания домашнего задания Поясняет домашнее задание Записывают домашнее задание п. 22. № 22.4(в, г), № 22.8(в, г), № 22.16 – пожеланию словесные 2 мин

Литература:

В.В. Давыдов «Теория развивающего обучения» Москва, 1996г,
И.С.Якиманская «Знание и мышление школьника». Москва, 1985г.
И.С.Якиманская «Развивающее обучение». Москва, 1979г.
Репкин Н.В. «Что такое развивающее обучение?» – Томск, 1993
А.Я. Леонтьев «Деятельность. Сознание. Личность». Москва, 1975г.
В.В. Давыдов «Виды обобщения в обучении». Москва, 1972г.
А.Я. Хинчук «Педагогические статьи» Москва, 1963г.
А.А. Столяров «Педагогика математики» Минск, 1969г.
Л.М.Фридман «Психолого – педагогические основы обучения математике в школе». Москва 1983г.
В.В. Давыдов «Проблемы развивающего обучения» Москва, 1986г.
Р.Атаханов «К диагностики развития тематического мышления». Под редакцией В.В. Давыдова. Душанбе: Издательство Тадж ГУ, 1993г.
Григорьева Т. П. Технология обучения правилам в системе развивающего обучения // Математика в школе. № 2, 1999г.