Решение логарифмических неравенств со сложной экспонентой в основании

ГОУ СОШ №1358 г. Москвы с углублённым изучением английского и французского языков.
Соловьёва Людмила Петровна, учитель математики

Алгебра и начала анализа

11 класс

Проблемно – диалогические уроки.

Проблемный диалог от проблемной ситуации с затруднением.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Этапы
урока Учитель Учащиеся

П
О
С
Т
А
Н
О
В
К
А

П
Р
О
Б
Л
Е
М
Ы

П
О
И
С
К

Р
Е
Ш
Е
Н
И
Я

В
Ы
Р
А
Ж
Е
Н
И
Е

Р
Е
Ш
Е
Н
И
Я

Р
Е
А
Л
И
З
А
Ц
И
Я

П
Р
О
Д
У
К
Т
А


1. Решить неравенство log_0,3⁡〖(3х-4)≥-1〗
(учащиеся знакомы со способами решений таких
неравенств и без труда справляются с его решением).

2. Решите неравенство log_(2х+1)⁡〖(3х-2)〗≥ --1.
(Учащиеся не знакомы с решением таких неравенств.
Способов решения, гипотез может быть предложено
много).

3.- Что вас удивило?
-Что вы заметили?
-Над чем пришлось задуматься?

4. – Какие будут гипотезы?

5. - Сколько гипотез?
- Какая из них верная?
-Как вы думаете, кто из вас прав?

6. – В чем же заключается проблема?
- Из-за чего возникли затруднения?
- Чем задача была не похожа на другие?

7. Какие знания нужно было применить при решении этого неравенства?

8. – Итак, как же мы будем решать логарифмические неравенства со сложным основанием, со сложной экспонентой?

9. – Значит, как мы назовем тему нашего урока?
(или: что мы запишем в теме нашего урока? какой темой мы сегодня будем заниматься? сформулируйте учебную проблему, которую мы могли бы с вами записать в тему сегодняшнего урока.)

10. Итак, запишем тему урока:

« Решение логарифмических неравенств со сложной экспонентой в основании».

11. А теперь давайте попробуем сделать опорный сигнал (блок-схему, образную картинку, схему и т. д.)

〖log〗_(a(x))⁡〖f(x)≤g(x)〗





{█(f(x)≤(〖g(x))〗^(a(x))@f(x)>0;)┤, {█(f(x)≥(〖g(x))〗^a(x) @f(x)>0;)┤

Или вариант:

3. В основании логарифма –
выражение с переменной.
Как решать неравенство с
неизвестным основанием мы не знаем.

4. (Гипотеза 1):

log_(2х+1)⁡〖(3х-2)〗≥ -1<=>
<=>{█(2х+1>0,@2х+1≠1,@3х-2>0,@3х-2≥〖(2х+1)〗^(-1) )┤

(Гипотеза 2):


log_(2х+1)⁡〖(3х-2)〗≥ -1<=>
<=>{█(2х+1>0,@2х+1≠1,@3х-2>0,@3х-2≤〖(2х+1)〗^(-1) )┤

5. Две гипотезы. Верная пер-
вая ( вторая, обе- ответы
могут быть различными).
Решение требует новых знаний.

6. – Основание логарифма не является числом, оно является сложным выражением, содержит переменную .
- Поэтому мы не знаем, какое рациональное неравенство должны решать: менять при решении знак или нет – неизвестно.
(А возможно: мы не учли того, что в основании стоит выражение с переменной, поэтому не задумались над знаком неравенства).

7. Нужно было вспомнить, что логарифмическая функция является монотонной на своей области определения, а значит может быть на ней возрастающей и убывающей.
(Далее идёт повторение определений возрастающей и убывающей функций).

8. Решением такого неравенства на ОДЗ будет являться совокупность двух неравенств: с тем же знаком неравенства, если сложная экспонента в основании больше единицы, и с противоположным знаком, если положить основание меньшим единицы, но больше нуля.

9. - Решение логарифмических неравенств с переменной в основании.
- Решение логарифмических неравенств, у которых в основании переменная.
- Решение логарифмических неравенств со сложным основанием.

12. - Создайте аналогичную схему для неравенства
log_(a(x))⁡〖f(x)〗≥g(x) самостоятельно.

13. - А, теперь попробуйте решить самостоятельно.
- Я предлагаю вам умеренно сложную и серьёзную задачи. Вы выбираете самостоятельно.
- Решить неравенство:

x^(x+2)≤x^(3x+5)

и

〖〖(x〗^2-3x+2)〗^(2x^(2-6x+2) )≥〖〖(x〗^2-3x+2)〗^(x^(.2-7x+3) ).|

14. - Как выполняли задачу?
- Какие знания мы применяли?

15. - Чем она отличалась от других?

16. - Что важного мы узнали на уроке?
-Молодцы.

17. -Домашнее задание: №№ 35(2,4), 36(2,4), 37, 38(1)- внутренний учебник.
12. Выполняют.

13. Решают по выбору.

14. - Учитывали монотонность показательной функции.

15. - Основание неизвестно, поэтому приходится учитывать оба случая.

16. - Мы узнали, как решать показательные неравенства со сложной экспонентой в основании.