Задачи на наблюдение для развития пространственных представлений учащихся 5—6 классов Попова О.Н.
учитель математики МОУ гимназии №1 г. Липецка
Наблюдая предметы окружающей действительности, модели простейших фигур, выполняя под руководством учителя геометрический анализ увиденного, учащиеся V—VI классов накапливают геометрические факты, переработка которых в их сознании приводит к формированию и развитию пространственных представлений.
Однако такие наблюдения при изучении подготовительного курса геометрии в настоящее время осуществляются не систематически и явно недостаточно. Упражнения, связанные с наблюдением геометрических объектов, почти не выполняются. На уроках математики в недостаточном объеме проводится работа, направленная на выработку правильных пространственных представлений и понятий и подготовку перехода от предметных действий к выполнению умственных операций. Поэтому учащиеся недостаточно подготовлены к изучению систематического курса геометрии, к отчетливому восприятию и пониманию материала, у них не хватает пространственных представлений и пространственного воображения.
Однако в V—VI классах учитель математики вполне может выделить какое-то (пусть очень небольшое) учебное время для занятий по развитию пространственных представлений учащихся. Методическую помощь в проведении таких занятий может оказать описанный ниже опыт работы.
Можно предлагать учащимся три вида заданий: на распознавание моделей, на рассмотрение чертежей (в том числе и на зрительные иллюзии) и на одновременную работу с моделью, чертежом и рисунком.
I. Распознавание моделей
1. Учащимся демонстрируется набор моделей (рис.1) и предлагается найти среди них пирамиду (конус, цилиндр).
2. Учащимся предъявляются пары моделей: параллелепипед и призма, конус и пирамида, цилиндр и параллелепипед, пирамида и треугольник (рис. 2а – г). Предлагается сравнить модели каждой пары, выявив их сходство и различие.
3. Среди моделей (рис.3) указать те, которые имеют центр (ось) симметрии.
4. На подставку, края которой окрашены в разные цвета, например в красный и зеленый, помещаются несколько различных моделей (рис.4). Требуется указать, какая из моделей, конус или цилиндр, находится ближе к красному (зеленому) краю стола. Описать местоположение шара (призмы) относительно цилиндра (конуса или пирамиды). Для этого надо использовать слова «справа», «слева», «перед», «сзади».
Охарактеризуем эти задания.
Задание 1 «на распознавание» учит ребят мысленно представлять виденную уже однажды фигуру, выделять те ее свойства, которые позволяют отыскать ее среди множества других фигур. Весьма полезно включать в наборы моделей как пространственные, так и плоские фигуры. Пространственные модели нужно располагать в различных положениях. Например, на рис. 1 мы видим как стоящий конус (6), так и «лежащий» (15). Там же мы встречаем две пирамиды: одна стоит на основании (13), другая – на боковой грани (17), и т. д.
Такие задания позволяют уточнить уже имеющиеся у ребят первоначальные представления о пространственных фигурах. Учащиеся уже не просто выбирают модель. Они вспоминают, прежде всего, характерные свойства требуемой фигуры, соотнося их с признаками данных моделей.
При выполнении задания 2 важно, чтобы учащиеся не просто указывали «это цилиндр, а это пирамида», а путем рассуждений выявляли сходные или различные свойства этих фигур. Так, при сравнении призмы с параллелепипедом они должны рассуждать следующим образом: «обе эти фигуры являются пространственными, но они имеют неодинаковое количество граней, ребер, вершин, так как у одной фигуры в основании лежит треугольник, а у другой — прямоугольник. Боковые грани обеих фигур есть прямоугольники». В V классе учащиеся могут проверить с помощью угольника перпендикулярность ребер основаниям. Сравнивая круглые тела и многогранники, учащиеся всегда сами убеждаются, что у известных им круглых тел (конус, цилиндр, шар) или вообще нет вершин (цилиндр, шар) или одна вершина (конус). Они часто замечают, что круглые тела можно катить, а многогранники катить невозможно.
Что касается задания 4, то такого рода упражнения помогают учащимся лучше ориентироваться в пространстве, определяя местоположение окружающих их объектов и выявляя при этом пространственные отношения, как между объектами, так и между их элементами.
II. Рассмотрение чертежей
1. Подсчитайте число лучей на рис. 5а.
2. Что общего и что различного в расположении отрезков на рис. 5а и 5б?
3. Сколько углов вы видите на рис. 6а; на рис. 6б?
4. Сколько треугольников на рис. 7а; на рис. 7б?
5. Укажите, в каких случаях фигуры на рис.8 симметричны относительно оси. Проверьте свои ответы измерениями.
6. На рис. 9 угол АОВ развернутый, лучи OD, ОМ и ON – биссектрисы углов АОВ, DOA, DOB соответственно. Найдите, не пользуясь измерениями, прямые углы на этом рисунке.
7. Какие из фигур на рис. 10 симметричны относительно а) оси Ох, б) оси Оу?
8. На рис. 11 изображен, параллелепипед. Укажите, какие из его вершин можно соединить отрезками такой же длины, что и отрезок: а) АВ, б) АС, в) BD.
Проверьте свои ответы измерениями по каркасной модели.
Упражнения 1 – 8 развивают «геометрическую зоркость» учащихся. Выполняя их, учащиеся, прежде всего, уясняют себе, о какой фигуре идет речь. Для этого необходимо вспомнить характеристические признаки фигуры, представить себе эту фигуру и выделить ее на чертеже. Эти упражнения нацелены на тренировку учащихся в умении ориентироваться в сложных конфигурациях, вычленяя из них более простые элементы, но и не теряя в то же время из виду всю конфигурацию в целом.
В IV—V классах учащихся следует готовить к доказательству геометрических положений, многие из которых первоначально кажутся им очевидными. В силу этого особое значение приобретает иллюстрация зрительных иллюзий, убеждающая детей в том, что мы не можем безраздельно доверять нашим органам чувств. Задания, указанные ниже, помогают учащимся уяснить, что выводы, получаемые с помощью наблюдений, необходимо проверять измерениями и путем логических умозаключений.
9. Определите на глаз значения углов на рис. 12. Проверьте свои результаты транспортиром.
10. Какие из квадратов на рис.13 больше? Светлые или темные?
11. Одинаковы ли круги В на рис.14а и на рис.14б?
12. Являются ли параллельными линии с и d на рис.15а, б?
13. Какой из отрезков на рис.16а-в длиннее: с или d?
14. Могут ли существовать тела, изображенные на рис.17?
Необходимо сообщить учащимся причины возникновения зрительных иллюзий. Например, глаз переоценивает величину острого и недооценивает величину тупого угла – с этим фактом учащиеся сталкиваются в упражнении 9. Погрешности в ответах к заданию 10 связаны с тем, что темная фигура на светлом фоне кажется больше, чем равная ей фигура, расположенная на темном фоне. В заданиях 11-13 использовано то, что наш глаз делает ошибку в определении размеров фигур в «заполненном» и «пустом» пространстве, искаженно воспринимает направления, расстояния и формы фигур под влиянием других близко размещенных предметов и фигур. Несколько особняком стоит задание 14. Оно иллюстрирует следующую мысль: нарисовать можно любую фигуру, даже ту, которой нет в действительности. Поэтому надо осторожно относиться к рисункам, проверяя их правильность на моделях или путем рассуждений.
III. Одновременное рассмотрение модели, чертежа и рисунка
1. Рассмотреть модель куба и найти его развертку среди конфигураций на рис. 18.
2. На рис. 19а, б даны развертки прямоугольных параллелепипедов и на них отмечены кружок и крестик. Перенести их на имеющиеся модели этих фигур.
3. На модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 20,а) отмечены кружок и крестик. Перенести их на развертку этой же модели (рис. 20,6).
4. Расположить модель куба так, чтобы наблюдатель видел ее сначала в положении а) на рис. 21, потом в положении б) на том же рисунке. Аналогичное задание выполнить для конуса (см. рис. 21в ,г).
5. Дана модель цилиндра (пирамиды). Нарисовать ее в различных положениях к наблюдателю.
6. Модель правильной четырехугольной пирамиды окрашена так, что ее основание красного цвета, а боковые грани поочередно зеленые или желтые. Раскрасить развертку пирамиды в соответствующие цвета.
При выполнении работ по наблюдению наиболее трудным является переход к обобщению наблюдаемых фактов, доведение частных случаев до общего положения, обучение учащихся использованию установленных ранее фактов для обоснования новых фактов и для решения конкретных задач. Задачи на наблюдение подводят учащихся к необходимости доказательств, чем обеспечивается база для предстоящего изучения систематического курса геометрии.
Однако выполнение таких заданий учителю нужно строго контролировать. Следует требовать, чтобы учащиеся не только указывали тот или иной объект, но и давали хотя бы простейшие пояснения, уточняли, почему выбрано то или иное решение. Когда учащиеся рассуждают вслух, у них отрабатывается четкость математической речи и этим подготавливается почва для овладения умением строить дедуктивные выводы.
Упражнения можно предлагать учащимся в виде карточек-заданий или с помощью проектора. Необходимые модели школьники могут выполнить на уроках труда или дома. Во время занятий такие модели должны быть на каждой парте.
Задания включают материал, не выходящий за рамки школьной программы. Некоторые виды заданий учащимся можно предлагать на дом, другие выполнять на внеклассных занятиях, но большинство упражнений желательно рассматривать в урочное время.
Анализ этой работы показал, что планомерная и систематическая реализация предлагаемой системы упражнений помогает подвести учащихся к необходимому уровню развития пространственных представлений и подготовить их к изучению систематического курса геометрии.
