Как развивать пространственное воображение учащихся Попова О.Н.
учитель математики МОУ гимназии №1 г. Липецка
Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.
Все психические процессы, в том числе и пространственное воображение, совершенствуются в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т. е. необходима система упражнений.
В этой статье предлагаются нестандартные и занимательные задачи для развития пространственного воображения. В квадратных скобках даны ответы, краткие решения, указания.
Для решения многих из этих задач не надо специальных знаний, т. е. их можно предлагать уже в V классе, а некоторые — и в начальной школе. Решение наиболее сложных задач можно поощрять отметкой.
Первую серию задач можно назвать «выход в пространство».
Это устные задачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот, упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении монет в задаче 3 (учащиеся сразу думают, что монеты должны лежать на плоскости) навязывает «плоскостные» образы. Нужно преодолеть это, «вывести» мысль «в пространство», чтобы правильно выполнить предложенные задания.
1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. [Ответ на рис.1].
2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром, равным спичке].
3. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех остальных. [Ответ на рис. 2].
4. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? [Можно, ответ на рис. 3].
5. Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4а. [Прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, b, с (рис. 4б), заштрихованную часть повернуть около прямой l на 180°].
Часто советуют сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображениями многогранников, решением за¬дач на построение сечений и т. д. Но ученики должны «видеть» этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии надо предлагать учащимся задачи с кубом, параллелепипедом и некоторыми другими фигурами. Эта серия заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.
На рис. 5 любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...
Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа (рис. 6а), а другой — снизу и слева (рис. 6б). Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той реальности, о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут этому научиться. Помочь им овладеть этим умением надо еще в средних классах школы, предлагая упражнения 6 – 10.
6. Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба, и опишите свои впечатления. [Более четко просматривается такой куб, как на рис. 6а.]
7. Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож рисунок: на шкафчик? полочку?
8. Что вы видите на рис. 7? [Брусок с углублением (задняя стенка углубления – плоскость АВ), или брусок с выступающим шипом, где АВ – его передняя грань, или открытую часть пустого ящика с прилегающим к стенкам изнутри кирпичом].
9. На рис. 8а фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги.) Дорисуйте ее.
[Ребята обычно дорисовывают фигуру так, как на рис. 8б и не видят никакой ловушки. Она становится ясна только при взгляде на рис. 8в. Учащиеся понимают, что таких фигур, как на рис. 8в в реальности не существует].
10. Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура, показанная на рис. 9.
Третья серия заданий использует развертки куба, цилиндра.
11. Сколько граней у шестигранного карандаша? [Восемь, если карандаш не отточен. Часто отвечают «шесть»].
12. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его можно разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? [Нетрудно доказать, что фигура, состоящая из объединения треугольников А и В на рис. 10, расположенных в одной плоскости, есть квадрат].
13. На рис. 11 слева показана развертка какого-то куба. Какие кубы из тех, что даны справа на том же рисунке, можно сложить из этой развертки? [Кубы на рис. 11, b, с, f].
14 . На рис. 12а изображен куб, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.(Мы видим только три первых числа.) Сумма чисел, стоящих на противолежащих гранях, равна 7. На четырех развертках куба (рис. 12б) напишите пять чисел – одно уже написано – так, чтобы это соответствовало нашему кубу.
15. На рис. 13а изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой, этим куском бумаги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? [Можно, если грань куба такая, как заштрихованная на рис. 13б].
16. Какой из восьми рисунков (см. рис. 14) маляр нанес на стену изображенным тут же валиком? [«Накатан» шестой рисунок].
Задания на проекции фигур.
17. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали, от пучка лучей света, параллельных этой диагонали? [Правильный шестиугольник].
18. На рис. 15а жирной линией показаны фигуры, согнутые из проволоки. Изобразите три их проекции: на переднюю грань куба, на боковую его грань и на верхнюю грань. [Ответы на рис. 15б под изображениями соответствующих фигур].
19. Согните из мягкой проволоки фигуру, при параллельном проектировании которой на разные плоскости получаются буквы: С, Л, О, Г. [См. рис. 16. Есть и другие решения, если вписывать проволочную фигуру в куб].
20. На рис. 17а изображена дощечка с различными отверстиями. Найдите единственную затычку, закрывающую три отверстия. [Ответ на рис. 17б].
Многие из перечисленных здесь задач ценны тем, что предметы, о которых в них говорится, учащиеся могут изготовить сами. Нетрудно согнуть проволоку и проверить по ней свои решения задач 18 и 19. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных разверток куба, о которых говорится в задачах 12 – 15.
Дощечку с отверстиями к задаче 20 тоже можно рассмотреть в натуре – вырезать из картона, фанеры или пенопласта.
Однако во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если учитель начинает рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.
В заключение отмечу, что оригинальность задач вызывает у учащихся интерес и при работе на уроке и во внеклассной деятельности, а это является одним из необходимых условий успешного изучения предмета.
