Использование устного счета на уроках математики для повышения результатов ОГЭ и ЕГЭ

Введение ОГЭ и ЕГЭ требует от школьников умения выполнять быстро и правильно задания первой части экзамена. Школьники должны владеть высоким уровнем вычислений без использования электронных средств подсчёта.

Владение навыками устного счета способствуют улучшению памяти, развитию речи, мышления, смекалки, формируют осознанное усвоение физико-математических дисциплин.

Школьникам, которые на каждом уроке привыкли производить вычисления на калькуляторе, трудно приходится на ЕГЭ и ГИА. Многие современные ученики не владеют вычислительными навыками, допускают большое количество ошибок. Школьная программа практически не включает приемы быстрого и понятного устного счета, а все дальше уводит школьников в сложные формулы и алгоритмы.

Начиная с 6 класса на уроках все реже применяются формы устного счета. К концу основной школы учащиеся затрудняются в выполнении простейших устных вычислений и не имеют возможности сделать быстро и правильно расчёты в уме без использования средств вычисления, что отражается на результатах ЕГЭ и ОГЭ и на самой успеваемости.

Поэтому учителю математики следует уделять внимание устным упражнениям по пройденной и изучаемой темам от 3 до 10 минут из урока в урок. Развитие у учащихся навыков устных вычислений и преобразований является одним из важных факторов их успешной сдачи обязательных экзаменов.

Приведем примеры тем для устного счета по классам:

5 класс:

1. Сложение и вычитание натуральных чисел
2. Умножение и деление натуральных чисел
3. Сравнение обыкновенных дробей
4. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем

6 класс:

1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
2. Сложение и вычитание десятичных дробей
3. Нахождение процента от числа
4. Сложение и вычитание целых чисел
5. Решение уравнений

7 класс:

1. Действия над числами.
2. Применение различных способов разложения на множители.
3. Линейные уравнения с двумя переменными, системы уравнений
4. Возведение одночлена в степень

8 класс:

1. Преобразование рациональных выражений
2. Извлечение квадратного корня
3. Решение квадратных уравнений с помощью теоремы Виета и частных случаев.
4. Решение квадратных уравнений рациональными способами.

9 класс:

1. Решение неравенств 2 степени.
2. Преобразование графиков функций.
3. Формулы приведения.
4. Тригонометрические формулы.
5. Значения тригонометрических функций.

10 класс:

1. Вычисление производных.
2. Простейшие тригонометрические неравенства.
3. Тригонометрические формулы.
4. Простейшие тригонометрические уравнения.
5. Функции, обратные тригонометрическим.
6. Преобразование графиков функций.

11 класс:

1. Вычисление первообразных .
2. Свойства логарифмов.
3. Простейшие показательные уравнения и неравенства.
4. Простейшие логарифмические уравнения и неравенства.

Рассмотрим некоторые из приемов устного счета, применяемые на уроках:

Умножение двузначного числа на 11.

Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10.

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

72 11 = 7 (7+2) 2 = 792;
35 11 = 3 (3+5) 5 = 385;

На уроках указанный приём умножения на 11 можно целиком применить и к дробным числам:

2,4 × 11 = 2(6),4=26,4

Ясно, что умножая на 11 число, имеющее десятые доли, мы в ответе также получим дробь, имеющую десятые доли. Сообразить поэтому, где надо в произведении поставить запятую, очень нетрудно.

0,34 х 11 = 3,(7)4 = 3,74, произведение будет иметь сотые доли.
53 х 1,1 = 583 : 10 = 58,3.

Умножая 53 на 11 (вместо 1,1), мы получаем произведение, которое в 10 раз больше истинного, поэтому мы результат умножения 53 на 11 разделили на 10.

Обычно на уроках при действиях над многозначными числами большая часть операций выполняется письменно.

Однако будет неправильным утверждение, что при выполнении действий над числами многозначными нет места устному счёту.

Когда многозначные числа удобны для устных вычислений, их должны ученики делать в уме.

Приведем примеры вычислений с многозначными числами, которые применяются нами в практике

1) 6798 + 2200 = 8998.

Так как от сложения разрядов не получаются единицы более высокого разряда, сложение легко произвести устно, записав слагаемые в строку, а не в столбик, и вы¬полняя сложение, начиная с высших разрядов.

2) 248 + 249 + 251 = 248 + 500 = 748.

Так как 49 дополняет 51 до 100, то и тут всё легко подсчитать в уме. ./

3) 6446 — 3223 = 3223.

Числа симметричны, при вычитании не приходится занимать единицы высшего разряда.

4) 12 200 +12 250+12220+12210=12200 х4 + 80=48880.

Так как все слагаемые отличаются десятками и единицами, мы заменили сложение четырёх одинаковых сла-гаемых 12 200 умножением на 4 и к произведению прибавили 80.

5) 84 х 24 = 84 х 25 —84 = 2100 —84 = 2016.

Умножение 84 па 24 мы произвели, воспользовавшись двумя приёмами устного счёта: округлили множитель до 25, умножили 84 на 25 известным нам способом и вычли из произведения излишне взятые 84.

6) 4141 +2525= 6666.

Числа симметричные легко складываются в уме.

7) 1024 :16 = (1024 :8): 2 = [(1000 + 24): 8]: 2 = •/ = 128:2 = 64.

Конечно, можно всё это произвести без такой подробной записи, цель которой объяснить приём.

8) 34 х 49= 34 X 50 — 34= 1700 — 34= 1666.

Сочетание округления с приёмом умножения на 50.

9) 4575 : 25 = (4500 + 75) : 25 = 180 + 3 = 183.

Здесь мы применили приём разложения делимого на два слагаемых, кратных делителю. При делении 45 сотен на 25 мы рассуждали так: в одной сотне 25 содержится 4 раза, а в 45 сотнях в 45 раз больше. При умножении 4 на 45 мы переставили сомножители и 45 умножили на 2 (это 90) и ещё раз на 2. Получили 180 да ещё 3.

10) 2750 : 55 = (2750 : 5): 11 = 550 : 11 = 50.

Приём последовательного деления на составные сомножители делителя дал быстрый результат.

11) 48х 225 = 225 х 2 х2х 12 = 900 х 12= 10800.

Умножение 225 на 2 и ещё на 2 дало «удобное» для дальнейшего вычисления число 9 сотен. Умножение 9 на 12 лучше в уме произвести так: 12 х 9 = 90 + 18 = 108.

12) 570 х 999 = 570 х 1000 — 570 = 570 000 — 570 = 569 430.

Из 1000 вычитание 570 проще всего произвести дополняя 570 до 1000.

13) 960 X 125 = 960 : 8 х 1000 = 120000.

Применяем приём умножения па 125: уменьшаем множимое в 8 раз, а множитель увеличиваем в 8 раз. Деление (уменьшение в 8 раз) делимого на 8 производим по разрядам.