Решение квадратных уравнений с параметрами с учащимися 8-9 классов

Квадратные уравнения применяются для решения задач практического характера с незапамятных времен. Для большинства современных учащихся их решение едва ли может представлять особую сложность, однако ситуация может кардинально измениться, если в уравнении появится параметр... На примере 3-ех задач различного уровня сложности автор попытался осветить наиболее частые проблемы, с которыми могут столкнуться школьники в рамках подготовки к Единому государственному экзамену.

Говоря о проблемах и трудностях, с которыми учащиеся 8-9 классов могут столкнуться на уроках алгебры, безусловно, следует упомянуть вопросы, касающиеся решения квадратных уравнений с параметрами. Казалось бы, сами по себе квадратные уравнения вряд ли могут представлять сложность для учащихся 8-9 классов, однако в случае если в квадратном уравнении фигурирует параметр, дело принимает совсем иной оборот.

Итак, попробуем разобраться.

Ученые полагают, что квадратные уравнения применялись астрономами, специалистами по аграрному и военному дела (а впоследствии и многими другими, включая, конечно, математиков) еще во времена существования Древнего Вавилона в III-II вв. до н.э. В соревнованиях по решению квадратных уравнений участвовали ученые Древней Индии, задачи с уравнениями второй степени решали также в Древней Греции, Древнем Риме, Древнем Китае, одним словом этим занимались ученые-представители всех крупных древних цивилизаций. С развитием математики проблемой квадратных уравнений занимались видные мировые ученые, такие как Франсуа Виет, Михаэль Штифель, Альбер Жирар, Рене Декарт и другие. А теперь и мы прикоснемся к тому, что занимало умы великих ученых-математиков на протяжении тысячелетий.
Итак, квадратные уравнения.

Согласно общему определению квадратное уравнение – это уравнение вида ax^2+bx+c=0, где x- переменная, a, b, c – коэффициенты, причем a≠0. Известно, что для решения уравнения подобного вида необходимо вычислить дискриминант и в зависимости от его значения (если D ≥0 воспользоваться формулой корней, если D <0, корней нет) получить соответствующий ответ. Однако в случае решения квадратных уравнений с параметрами ситуация не будет столь однозначной. Давайте рассмотрим несколько примеров.

Необходимо исследовать и определить, при каких значениях параметра уравнения имеют решения:

Задача №1

x^2- (m-2)*x-(m-2)=0

Квадратное уравнение имеет решения, если D ≥0, т.е. D=(m-2)^2+4(m-2)=(m-2)(m+2)≥0

Таким образом, уравнение имеет решения при m∈(-∞;-2]∪[2;+∞) и решением будет являться значения x_1,2=(m-2±√(m^2-4))/2

Соответственно, при m∈(-2;2) D<0, т.е. решений нет.

При m=-2 x=-2 (единственное решение).
При m=2 x=0 (единственное решение).

Задача №2

x/(x^2-4)+a/(x^2+2x)+1/(2x-x^2 )=0

Найдем ОДЗ: x≠±2
x≠0

Путем приведения к общему знаменателю получим: x^2+(x-2)a-(x+2)=0.

Упростив выражение, получим: x^2+(a-1)x-2a-2=0

Если D=(a-1)^2+8a+8=(a+3)^2>0, тогда при
a≠-3 x_1,2=(1-a±√((a+3)^2 ))/2 , т.е. x_1=- a-1; x_2=2,но x_2=2 не принадлежит ОДЗ.

Таким образом, решением данного уравнения будет являться корень x_1=- a-1 в случае, если:
x_1=- a-1≠0, т.е. a≠-1
x_1=- a-1≠2, т.е. a≠-3
x_1=- a-1≠-2, т.е. a≠1

Ответ: При a≠±1 ∃ единственное решение x=- a-1
a≠-3

Задача №3

x/m(x+1) -2/(x+2)=(3-m^2)/m(x+1)(x+2)

Найдем ОДЗ: m≠0
x≠-1
x≠-2

Приведем уравнение к общему знаменателю: x(x+2)-2m(x+1)=3-m^2

Упростив выражение, получим: x^2-2(m-1)x+m^2-2m-3=0

Если D=4(m-1)^2-4(m^2-2m-3)=16>0, тогда x_1,2= (2(m-1)±4)/2=(m-1)±2
x_1= m+1
x_2= m-3

Выясним, при каких значениях параметра m x принадлежит ОДЗ (см.действие 1).

x≠-1 , тогда x_1= m+1≠-1,тогда m≠-2,а значит x_2= m-3≠-2-3≠-5 или x_2= m-3≠-1,тогда m≠2,а значит x_1= m+1≠2+1≠3
x≠-2,тогда x_1= m+1≠-2,тогда m≠-3,а значит x_2= m-3≠-3-3≠-6 или x_2= m-3≠-2,тогда m≠1,а значит x_1= m+1≠1+1≠2

При m=0 уравнение не определено.

Ответ: При m≠±2 существует 2 корня: x_1= m+1 и x_2= m-3
m≠-3
m≠1
m≠0

Итак, мы рассмотрели несколько примеров решений квадратных уравнений с параметрами. Эта тема включена в учебную программу по алгебре для учащихся 8-9 классов, что делает ликвидацию пробелов по данной тематике необходимым фактором в условиях современного образовательного процесса, а также в рамках подготовки к Единому государственному экзамену.