Факультатив по степени куба и квадрата, геометрический и арифметический алгоритмы построения куба и квадрата.
Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: закрепление понятий степени квадрата и куба, арифметические и геометрические алгоритмы построения квадрата и куба, исходные формулы.
С алгоритмом постройки квадрата, мы уже знакомились на факультативах по Пифагоровым последовательностям. Кратко повторим, с некоторыми дополнениями:
Основными уравнениями третьей и второй степени, где все переменные – натуральные числа, является квадратное уравнение, вида:
у² = х² + 2х + 1
и кубическое уравнение, вида:
y³ = x³ + 3x² + 3x + 1
Геометрические интерпретации этих уравнений:
Любой исходный квадрат x², с натуральной стороной икс, может быть надстроен до квадрата y² – со стороной х+1, минимальным числом единичных квадратов, в их количестве:
2x + 1
Надстройка:
1. Две смежных стороны по икс каждая, исходного квадрата х², достраиваются точно такими же, всего – 2х.
2. Промежуток в месте схождения сторон, достраивается новой вершиной – 1.
Иными словами уравнение описывает то, как из любого квадрата х², получается следующий квадрат у², у которого сторона больше на единицу.
Любой исходный куб x³, с натуральной стороной икс каждая, может быть надстроен до куба y³ – со стороной х+1, минимальным числом единичных кубов, в их количестве:
3x² + 3x + 1.
Отметим, что если предыдущих – «нулевого» квадрата, и «нулевого» куба не существовало (х=0), то закономерно – самый первый квадрат во всей последовательности – единичный, со стороной один; и самый первый куб во всей последовательности кубов – так же единичный, со стороной один.
[Нулевой, виртуальный «квадрат» (и «куб»), со стороной, равной нулю – точка.
Но это разумеется – только допущение, чистая условность.
Точка это точка, и ничего более.
Это важно.
Отметим: надстройки от точки – до первого, единичного квадрата, и первого единичного куба, так же как и все последующие надстройки, подчиняются и алгоритму, и формулам].
Все остальные квадратные и кубические уравнения, являются частными случаями от исходных.
Например алгебраическое уравнение второй степени, вида:
аx² + bx + c = 0; a≠0; где коэффициенты a, b, c, это вещественные, или комплексные числа.
И алгебраическое уравнение третьей степени, вида:
ax³ + bx² + cx + d = 0; a≠0; где коэффициенты такие же*.
С позиции именно геометрии двумерного квадрата, трёхмерного куба – в модели реального пространства, эти уравнения не имеют решений, поскольку прямо предполагают невозможное существование виртуальных, псевдо-геометрических фигур, предшествующих не имеющей размеров точке, [нулевому «квадрату» и «кубу»].
Смысл ненулевых уравнений:
y² = аx² + bx + c,
y³ = ax³ + bx² + cx + d,
где натуральные коэффициенты жёстко не фиксированы как в исходных >>
у² = х² + 2х + 1,
y³ = x³ + 3x² + 3x + 1
(либо не являются результатом сложения двух и более надстроек на фигуру):
=>
то в этих случаях, рассчитываются геометрические фигуры, лишённые некоторого количества единичных квадратов [недостроенные квадраты], лишённые некоторого количества единичных кубов, [недостроенные кубы], либо с их излишком, включая разумеется прямоугольники, параллелепипеды, и иные геометрические формы.
Возможно поэтому, большинство известных математиков древности, оперировали разными квадратными и кубическими уравнениями, но тогда ещё не приравненными к нулю.
Дополнительно рассмотрим алгоритм постройки куба, и квадрата (как грани куба), начиная с виртуальных, «квадрата» и «куба» с нулевыми размерами – от геометрической точки.
Начнём с линейки кубов:
1) «Нулевой куб», точка, надстраивается до размеров следующего куба – одним единичным кубом, со стороной один, 1×1×1 (1³)
Определим нумерацию элементов в последовательности кубов: «нулевой куб», будет у нас под номером Ноль, единичный куб, под номером Один.
Разница между размерами кубов – ровно единица, (т.е. – единичный куб).
Разницы между именно надстройками для кубов, здесь пока нет, поскольку до нулевого объекта, точки, «надстраивать» было совершенно нечего, и нечем.
2) Надстроим единичный куб, №1, до размеров следующего №2, 2×2×2 (2³):
-- к одной грани единичного куба, присоединяем такой же куб;
-- к смежной (!) грани тоже.
-- к верхней так же.
-- заполняем четырьмя единичными кубами, промежутки между уже имеющимися кубами:
куб 2³ готов.
-- подсчитываем: для надстройки, использовано 7 единичных кубов.
То есть: разница между новым кубом 2³ и предыдущим 1³, ровно 7.
Разница между самими надстройками:
-- точку надстраивали одним кубом, а единичный куб – семью, 7-1=6.
3) Надстраиваем куб №2, 2³, до следующего, №3: 3³:
-- к боковой грани куба, 2², плюсуем такую же, объёмную (!) грань из единичных кубов 2².
-- к смежной грани тоже.
-- к верхней так же.
-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – ('впадинами' прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по два единичных куба каждая.
-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 3³ готов.
-- подсчитываем: для надстройки, использовано 19 единичных кубов.
То есть: разница между новым кубом 3³ и предыдущим 2³, ровно 19.
Разница между самими надстройками:
-- 1³, надстраивали 7 кубами, а 2³ – девятнадцатью, 19-7=12.
-- таким образом: арифметическое выражение этой надстройки: 6×2+7.
4) Надстраиваем куб №3, 3³, до следующего, №4: 4³:
-- к боковой грани куба, 3², плюсуем такую же, объёмную 'грань' из единичных кубов 3².
-- к смежной грани тоже.
-- к верхней так же.
-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – (впадинами прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по три единичных куба каждая.
-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 4³ готов.
-- подсчитываем: для надстройки, использовано 37 единичных кубов.
То есть: разница между новым кубом 4³ и предыдущим 3³, ровно 37.
Разница между самими надстройками:
-- 2³, надстраивали 19 кубами, а 3³ – тридцатью семью, 37-19=18.
-- таким образом: выражение этой надстройки: 6×3+19 =>
=> сумма, [произведения > коэффициента шесть на сторону предыдущего куба] – с величиной предыдущей надстройки.
5) Надстраиваем куб №4, 4³, до следующего, №5: 5³:
-- к боковой грани куба, 4², плюсуем такую же, объёмную 'грань' из единичных кубов 4².
-- к смежной грани тоже.
-- к верхней так же.
-- заполняем получившиеся промежутки между гранями – (впадинами прямоугольного сечения) – тремя объёмными 'сторонами', длиной разумеется по четыре единичных куба каждая.
-- заполняем одним единичным кубом место для вершины, куб 5³ готов.
-- подсчитываем: для надстройки, использовано 61 единичных куба.
То есть: разница между новым кубом 5³ и предыдущим 4³, ровно 61.
Разница между самими надстройками:
-- 3³, надстраивали 37 кубами, а 4³ – шестьюдесятью одним, 61-37=24.
-- таким образом: выражение этой надстройки: 6×4+37 =>
=> сумма, [произведения > коэффициента шесть на сторону предыдущего куба] – с величиной предыдущей надстройки.
В силу правил арифметики, равенства сторон куба, все вышеуказанные соотношения, неуклонно соблюдаются для всей бесконечной линейки последовательных кубов, и надстроек для них.
То есть:
-- любая одна надстройка на куб – всегда нечётная.
-- разница между самими надстройками – всегда чётная
-- одна надстройка, увеличивает сторону куба на единицу.
-- каждая последующая надстройка, больше предыдущей на 6x, где шесть – это постоянный коэффициент, равный разнице между надстройками единичного и нулевого кубов. Переменная x, это длина стороны предыдущего куба.
-- Поэтому, увеличение надстроек, являет собой прогрессию, формула которой:
Sc = 6х + k
где Sc [superstructure cube – надстройка для куба],
х – сторона надстраиваемого куба;
k – величина предыдущей надстройки.
Другая равнозначная формула надстройки куба, нам уже известна:
3x²+3x+1.
Формирование линейки последовательных квадратов, аналогична:
смежные стороны надстраиваются такими же, и соединяются новой вершиной –. одним единичным квадратом.
Формулы были выведены нами на предыдущих факультативах:
х² = 2у+1, где игрек – сторона надстраиваемого квадрата, 1 – постоянный коэффициент, (геометрически, единичный квадрат новой вершины);
икс – сторона предыдущего квадрата;
2у+1 – непосредственно вся надстройка.
-- принципиальная разница между надстройками квадрата и куба состоит в том, что некоторые надстройки 'квадрата до квадрата' – могут являться натуральными квадратами (см. Пифагоровы тройки), а надстройка 'куба до куба' – кубом никогда не является.
Эти неизменные зависимости, а именно:
-- любой натуральный квадрат – всегда является надстройкой для другого, вычисленного для этой цели натурального квадрата (Пифагоровы тройки);
-- два квадрата, участвующие в таком слиянии, всегда разной величины.
И никогда – равной, из чего следует невозможность получить натуральный квадрат, при суммировании двух одинаковых натуральных квадратов. Если не добавить единичных.
-- любой натуральный куб – никогда не может являться надстройкой ни для какого натурального куба. Равно как и любое количество надстроек, не будет кубом.
Последнее, хорошо видно из формулы куба:
x³ + 3x² + 3x + 1 = y³;
где
3x² + 3x + 1
это надстройка на куб x³, для формирования куба y³, у которого сторона стала равной х+1.
Посмотрим, может ли сама надстройка всё же – быть кубом?
Возьмём её арифметически, и предположим равенство с неким произвольным кубом а³.
Получим выражение:
3x² + 3x + 1 = а³.
Или ещё нагляднее с переносом:
а³ – 3x² – 3x – 1 = 0
Теперь видно:
какие бы натуральные величины переменных ни взять – равенство категорически невозможно: всегда будет мешать «лишняя» единица.
Она же, (в виде больших чисел) в любых суммах надстроек – не позволит приравнять к нулю и любые другие, всевозможные варианты сумм двух кубов.
