Факультатив по степени суммы.
Автор: Алексей Владимирович Левченко
Цель: закрепление понятия степени числа, графический и геометрический алгоритмы степени суммы.
Посмотрим на сумму слагаемых, в степени больше двух: (x + y)n
Геометрический смысл выражения, это один параллелепипед с квадратным сечением, где сторона сечения равна x + y, и третьей стороной фигуры, длиной –
(x + y) n-2, (представьте или нарисуйте такой брусок);
то есть, арифметическое выражение, принимает вид:
(x + y)² × (x + y) n-2.
Или:
это одинаковые кубы, со стороной (x + y), в количестве (x + y) n-3.
Полное выражение:
(x + y) 3 × (x + y) n-3.
На примере:
(3 + 4)⁵ = (3 + 4)³ × (3 + 4)²;
(3 + 4)³ × (3 + 4)² = 7³ × 7²;
7³ × 7² = 7³ × 49 => сорок девять кубиков, со стороной семь у каждого.
Или это прямоугольный параллелепипед, брусок, со сторонами 7 на 7 на 343:
(3 + 4)² × (3 + 4)³ = 7² × 7³ => 7² × 7³ = 7² × 343.
Упрощённый вариант от параллелепипеда:
это квадратные пластины, размером 7 на 7, и толщиной в единицу.
Количество пластин – 7³, то есть 343 штуки.
Арифметически так же:
(3 + 4)⁵ = (3 + 4)² × (3 + 4)³ = 7² × 7³ = 7² × 343.
Вернёмся к арифметическому разложению квадрата суммы:
(x + y)² = x² + 2xy + y²,
И её геометрической интерпретации:
это как правило – два разных квадрата (>> необязательно!), величины которых, иногда могут быть выражены подходящими друг другу Пифагоровыми числами, что впрочем никак не изменяет форму квадрата суммы, её разложение, и правильность результата вычислений.
И поэтому, чтобы получить результатом квадрат, со стороной (x + y), нам необходимо дополнительное количество единичных квадратов, общим числом 2xy, что хорошо и видно – из формулы разложения.
Для закрепления и тренировки, воспользуемся, пожалуй – одной из самых удобных для этого арифметических конструкций – выражением из большой теоремы Ферма.
Напомним теорему:
В примере х n + y n = или ≠ z n, где все переменные, включая показатель – натуральные, и все – больше двух, равенства не существует.
Теорема о невозможности такого равенства, давно доказана для любых сочетаний переменных.
[А для квадратов, как известно – равенств бесконечно, и это - Пифагоровы тройки].
Нам же, предстоит сделать обычный, арифметический анализ этой формулы, исходя из алгоритмов суммы квадратов и квадрата суммы, на «школьном» уровне.
Примем в выражении, за меньшее слагаемое – первое из них, х n ,
для единообразия наших рассуждений.
Итак:
с чего нужно начать – так это сделать разложение каждого слагаемого на сумму квадратов, как уже было показано выше.
То есть: x n = x 2 × x n-2, что означает – вот столько x n-2 – квадратов x², сумма.
Пример:
3⁶ = 3² × 3⁴ = 3² × 81 = 3² + 3² + …. + 3² (81 шт), восемьдесят один квадрат, со стороной три, каждый.
Таким образом, когда разложим выражение из теоремы Ферма, то перед нами окажутся:
-- первое слагаемое в виде суммы одних квадратов;
-- и второе слагаемое, в виде суммы больших, одинаковых квадратов;
-- и самих квадратов – будет тоже больше, поскольку больше основание.
Пример:
3³ = 3²×3 = 3² + 3² + 3² => три квадрата со стороной три каждый;
4³ = 4² × 4 = 4² + 4² + 4² + 4² => четыре квадрата со стороной четыре.
То есть, формулируем правило:
Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.
Исходя из этого соотношения, ясно, что у результата в правой части выражения Ферма, z n , если бы вдруг равенство было истинным –
могло быть только самое большое количество квадратов,
поскольку основание там наибольшее.
Запомним это правило, оно является определяющим окончательный результат, в дальнейших рассуждениях.
Получив сумму двух сумм разных квадратов, у нас есть варианты подсчёта:
первый – мы можем сложить вместе по два одинаковых квадрата отдельно в каждом слагаемом, и только затем – сложить получившиеся квадраты – из разных слагаемых;
и второй – сразу начать попарно складывать квадраты из разных слагаемых.
В первом варианте, для каждой суммируемой пары х² + х², согласно формулам квадрата суммы, (ведь нам нужно получить квадрат!) – необходимы дополнительные элементы, в количестве:
х × х × 2 = 2х² тогда получим:
х² +2х²+ х².
То есть: на каждую пару суммируемых двух квадратов из первого слагаемого, надо добавить ещё два таких же, иначе – никакого квадрата не получится.
[нарисуйте квадрат со стороной, к примеру – три клеточки, и сразу будет видно: для получения из таких* – большого квадрата, всего – нужно ровно четыре штуки].
В итоге, общее количество новеньких, больших квадратов в первом слагаемом, полученных в ходе суммирования – станет ровно в четыре раза меньше, чем было.
И во втором слагаемом – такая же история.
Всё, дальнейшее сложение квадратов между собой в любом порядке – утратило всякий смысл.
Почему?
По причине того, что в результате – после знака равно, z n , ожидалось самое большое количество, самых больших квадратов, согласно уже известному нам правилу:
Количество квадратов, для переменных с одинаковым показателем, но разными основаниями – тем больше, чем больше основание степени.
А здесь уже видно, что количество квадратов в сумме, в левой части, при дальнейшем суммировании – не достигнет даже их числа, какое было изначально в наибольшем, втором слагаемом.
Ибо стало их, гораздо меньше.
Вывод: данный вариант суммы нам не подходит, пробуем второй:
-- каждый квадрат первого слагаемого, суммируется с одним из квадратов второго слагаемого, попарно: x² + y² = z², x² + y² = z², x² + y= z², … x² + y² = z²,
<и это – только для Пифагоровых троек, иначе – всё ещё печальнее, по слишком малому количеству квадратов, см. ниже>.
-- поскольку в первом слагаемом – количество квадратов [допустим, N штук] – заведомо меньше чем во втором слагаемом (скажем, M штук), то новых, больших квадратов, получится ровно столько, как и было в первом, [в первом слагаемом было N штук квадратов, значит – попарно сложиться они смогут только с N штуками квадратов из второго слагаемого ]:
N×x² + N×y² = N×z²
<и это в самом идеальном варианте, когда квадраты – Пифагоровы, для троек>
-- ну и незадействованных в сложении квадратов от второго слагаемого, останется сколько-то, {M – N = К штук}: К×y².
Здесь важно то, что общее количество всех квадратов в левой части после первого же суммирования, резко уменьшится, и станет ровно такое же, какое было во втором слагаемом, до всех операций сложения:
В левой части выражения, количество всех квадратов, стало: =>
N×z² + K×y² = М [Ровно столько и было, в наибольшем, втором слагаемом, y n].
Разве что часть из них, стали большего размера z², вследствие слияния квадратов из второго слагаемого – y², с уже исчезнувшими без следа квадратамгти первого – х² .
И уже на этом этапе, дальнейшее суммирование, теряет всякий смысл, поскольку результат, после знака равно, недвусмысленно обязывает наличие самых больших квадратов – в количестве заведомо большем, чем было в самом большом слагаемом, М.
Все основные варианты суммы квадратов в левой части исчерпаны, а любая перегруппировка квадратов, изменение их величин и количеств слева, за счёт друг друга – результат увеличить не в состоянии, этого не даст сделать переместительный закон.
Итак, посредством правил: именно суммы квадратов, квадрата суммы, и Пифагоровых троек, нам теперь можно сделать обоснованный вывод:
С позиции именно вышеуказанных арифметических правил, большая теорема Ферма истинна, приведённое в ней выражение, действительно равенством быть не может.
В ещё более доступном изложении для школьников – вариант, в виде геометрической интерпретации – исходя из площадей прямоугольников, я недавно видел на youtube, на канале Native Code:
https://www.youtube.com/watch?v=FdHB5SXddvY.
