Алгоритм Пифагоровых последовательностей

Факультатив для учащихся средних школ, по Пифагоровым тройкам.

Цель: закрепление понятий степени числа, в т.ч. в графическом исполнении, суммы квадратов, вывод уравнений для вычисления Пифагоровых троек.
Без корней))

[плакаты обязательны].

1) Если рассматривать квадраты чисел не в качестве соотношений катетов с гипотенузой, а как площади квадратов, составленных из единичных квадратов со стороной 1, можно создать удобный для учеников алгоритм формирования уравнений, для Пифагоровых троек.

2) Смысл метода в том, что любой квадрат, надстраивается единичными квадратами, минимально возможным способом: к одной стороне надстраиваемого квадрата, присоединяется точно такая же, "у". И к прилежащей стороне, присоединяется такая же: у + у = 2у

3) Остаётся заполнить одним единичным квадратом вершину, между присоединёнными элементами: 2у + 1, это величина надстройки.

4) Учитывая, что вся надстройка, это весь квадрат-"надстройщик", то х² = 2у + 1 => у = (x² - 1): 2.

5) Таким образом, минимально возможная надстройка, графически – в виде прямого угла из единичных квадратов. Значит – сторона надстраиваемого квадрата, увеличится на единицу.

6) В силу правил арифметики, количество единичных квадратов в надстройке, всегда нечётное.
То есть: x² нечётное число, соответственно ′х′– нечётное число.

7) Необходимо разделить х² так, чтобы получились три части – это будут две стороны надстраиваемого квадрата, и плюс один единичный угловой квадрат , вершина надстройки, соединяющий две стороны.

8) Сторона первого квадрата – х; второго квадрата y = (x² - 1): 2; соответственно сторона результата z = (x² - 1): 2 + 1.

9) [Напоминание из предыдущего факультатива: эти формулы, относительно только одной надстройки, когда х² – минимальная, единственная – и значит нечётная надстройка].

10) Пример: возьмём любое* нечётное число х, от трёх и выше. Возведём в квадрат: 3²=9, это площадь первого квадрата, она же, величина надстройки для второго квадрата.

11) Вычислим сторону другого квадрата, для этого– вычтем из х² единицу («угловой» квадрат), 9-1=8, получив удвоенную искомую сторону*; поэтому, разделим результат на два 8:2=4.

Готовы две стороны, 3 и 4.

12) Поскольку известно, что одна надстройка, увеличивает сторону квадрата ровно на единицу, то => воспользуемся формулой y = (x² - 1): 2, из которой следует формула:

z = y + 1 = (x² - 1): 2 +1;
z = (x² - 1): 2 + 1;
z=(9-1):2+1=5.

13) [Или суммировать квадраты, и затем извлечь корень, кому так удобней].

Пифагорова тройка: 3, 4, 5.

14) Если же необходимо увеличить сторону надстраиваемого квадрата не на единицу, а сразу на две, то нужны две подряд надстройки. Одна надстройка нечётная, значит две надстройки – чётное число.

15) Поэтому икс, основание и сторона первого квадрата, тоже чётное число, как и квадрат – тоже чётный. Следующая надстройка, всегда больше предыдущей на два: так как её сторона больше на единицу и плюс «свой» угол.

16) Значит надо взять любое чётное натуральное число икс, от четырёх и больше, (основание и сторону первого квадрата), возвести в квадрат, и разделить его на два, ибо надстроек две => x² : 2.

17) Надстройки отличаются на два, значит от результата надо вычесть единицу [которую можно прибавить ко второй половине, если это зачем-то понадобится, тогда ученикам будет видно,что разница станет ровно два] => x² : 2 - 1.
Это величина первой, меньшей надстройки.
[x²:2+1, величина второй, большей надстройки].

18) Итак: получив формулу меньшей надстройки, нужно вычесть из неё угловой квадрат, получив удвоенную сторону игрек.
(x² : 2 - 1) - 1 = x² : 2 - 2;
2у = x² : 2 - 2, удвоенная сторона надстраиваемого квадрата.

19) Разделив на два, получим сторону*:
у = (x² : 2 - 2): 2.

20) Поскольку надстроек было две, значит сторона игрек, до стороны зет, увеличена ровно на две единицы:
z = у + 2 = (x² : 2 - 2): 2 + 2.

21) Пример: х=4; 4²=16; 16:2=8; 8-2=6; 6:2=3; 3+2=5. Пифагорова тройка 4, 3, 5..

22) В силу правил арифметики, равенства сторон квадрата, все вышеуказанные соотношения, жёстко детерминированы.

Поэтому из формул и примеров следует, что число надстроек, равно:

• числу, вычитаемому из части квадрата-"надстройщика",
• разности между настройками,
• количеству всех вершин – «угловых», единичных квадратов надстроек,
• каждому делителю квадрата стороны, [квадрата-донора] т. е. х²
• числу единичных квадратов (единиц), на которые увеличена сторона игрек, до стороны зет.

23) Тогда рассмотренный в п.22 универсальный коэффициент, обозначим символом k. Исходя из вышеизложенного, можно составить общие формулы.

24) Для нечётных икс, k – нечётное число. Для чётных икс, k – чётное число:
у = (х² : k - k): 2; z = (х² : k - k): 2 + k

25) Рассмотрим примеры:

для х=24;

• 24²=576; 576:2=288; 288-2=286; 286:2=143; 143+2=145. Тройка 24, 143, 145.

Другие тройки: 24, 70, 74. 24, 45, 51. 24, 32, 40 24, 18, 30. 24, 10, 26. 24, 7, 25.

• для х=45;

45²=2025; 2025:1=2025; 2025-1=2024; 2024:2=1012; 1012+1=1013. Тройка 45, 1012, 1013.

Другие тройки: 45, 336, 339. 45, 200, 205. 45, 108, 117. 45, 60, 75. 45, 28, 53. 45, 24, 51.

Алгоритм расчёта более длинных последовательностей: задаём любое икс, вычисляем игрек, и сумму зет. Сумму, (в слагаемые она не входит), принимаем за «новый икс», считаем следующее слагаемое.

Новая сумма..« и так далее.

П.С.

Прямые следствия из приведённого алгоритма последовательных надстроек, и выведенных формул расчёта:
Метод обеспечивает расчёт всех возможных последовательностей, для любого натурального значения переменной икс;
Для значений икс, больше трёхзначных, нужен аппаратно-программный подход, так как количество делителей становится велико в общем случае, и машинный перебор последовательных операций деления, кардинально сэкономит время;
Троек Пифагора, где оба слагаемых нечётные, не существует в принципе.
Все элементы любых последовательностей, расположены в поле Пифагоровых троек.