Подходы к решению задач про вклады и кредиты

На ЕГЭ по математике в 11 классе 17 задание вызывает у учащихся затруднения при решении. Поэтому необходимо готовить их к решению подобных задач: уметь решать задачи на проценты, строить математическую модель (составлять по условию задачи уравнение или неравенство) и исследовать ее, знать и понимать теоретическую часть.

При решении задач на проценты, важно понимать:

1) как перевести проценты в дробь, например:

14% - это 0,14

r % - это 0,01*r =  0,01r.

Иногда удобно записывать проценты в виде обыкновенных дробей:

14% -  это 14/100

 r % - это   r/100

2) если число увеличивается на 15%, значит оно увеличивается в   1+0,15 = 1,15 (раз).

Или рассуждаем по-другому: было - 100%, стало — 115%.       115% : 100% =1,15 (раз).

Если число увеличивается на r %, значит оно увеличивается в (1 + 0,01r ) раз.

Теоретическая часть про вклады.

Вклад — это  денежная сумма, которую банк принимает от вкладчика, в целях хранения данных средств и начисления на них процентов (дохода от вклада). Доход по вкладу выплачивается в денежной форме в виде процентов.

Начисление процентов может производиться следующим образом:

• ежемесячно – проценты прибыли прибавляются к основному вкладу каждый месяц.
• к концу срока – проценты прибыли присоединятся к основной сумме вклада в конце срока вклада.
• в иной срок, например, ежеквартально (проценты начисляются каждые 3 месяца), либо каждые полгода, либо еженедельно.

Если человек открыл вклад в банке в сумме А рублей под r % на определенный период времени, то  по окончании срока  его сумма увеличится на r% или в (1 + 0,01r) раз и будет равна А*(1 + 0,01r ) рублей .

Капитализация процентов по вкладам представляет собой ежемесячное или ежеквартальное причисление процентов на банковский счёт. Таким образом, в следующем периоде проценты будут начисляться уже на большую сумму, что увеличит итоговую прибыль. В народе это называют "проценты на проценты", в финансах – "сложные проценты".  Другими словами, капитализация процентов – это процесс, при котором доход по вкладу начисляется частями на протяжении времени хранения денег в банке. Если  человек положил А рублей в банк с учетом капитализации процентов  под r % годовых, то каждый месяц ему  по вкладу начисляется r%/12

Формула, по которой рассчитывается сумма вклада с учетом  капитализации процентов  под  r % годовых:  

C - сумма вклада с учетом  капитализации процентов.

A - первоначальная сумма.

n - время хранения денег в банке ( количество месяцев).

Теоретическая часть про кредиты.

Потребительский кредит (заем) - денежные средства, предоставленные кредитором заемщику на основании кредитного договора, договора займа.

Заемщик - физическое лицо, обратившееся к кредитору с намерением получить потребительский кредит (заем).

Тело кредита - это сама сумма кредита, без учета процентов.

Взяли, например, 100 000 рублей - это тело, на него начисляются проценты.

Аннуитентный способ погашения кредита является более распространенным для большинства пользовательских кредитов. При нем рассчитывается полная стоимость займа помимо одноразовых комиссий. Вся сумма делится на определенный срок кредитования. Этот способ выгодный тем, что не составляет особых хлопот. Заемщик точно знает и помнит сумму ежемесячного платежа. Каждый месяц заемщик вносит на банковский счет одинаковую сумму в течение всего срока действия договора.

Рассмотрим, как рассчитать платежи на основе аннуитетной схемы.

Пусть К рублей - предоставленный кредит (тело кредита),

 n – число месяцев  выплаты основного долга,

r % – годовая процентная ставка.

Найдем общую сумму платежа (погашение кредита) для нашего случая.

Обозначим эту сумму через Х. Она складывается из ежегодных равных выплат х. Тогда Х = n * x.

Ежегодно остаток долга увеличивается на r % , то есть увеличивается в (1 + 0,01r ) раз. Пусть  1 + 0,01r = S.

Через 1 год после получения кредита долг клиента К * S рублей.

Заемщик выплатил банку x рублей. Его долг  К1 =К * S — x (рублей), который через год опять увеличивается в S  раз.

После второй выплаты сумма долга  К2 = К1* S — x =  (К * S — x)*S - x  = К * S² -S *x - x =  =К * S² - (S  + 1) * х  (рублей).

После третьей выплаты сумма долга  равна

К₃ = К₂ * S — x =  ( К1 * S — x) * S - x  =К₁ * S² - (S  + 1)x = (К * S — x)* S² - (S  + 1)x =  К * S³ -  x * S²  - (S  + 1)x =  К * S³ -  ( S²  + S  + 1)*x.

Выражение в скобках — сумма трех членов геометрической прогрессии,  первый член которой равен 1, а знаменатель -  S

Если кредит был выдан на n лет, то  остаток через n лет равен нулю. К_n = 0. Значит, уменьшаемое и вычитаемое равны:

Полная выплата по кредиту составляет Х = х * n:

Это равенство позволяет  любую величину выразить через другие.

 

Дифференцированный (или  регрессивный) способ погашения кредита предусматривает уменьшение ежемесячного взноса. Сначала клиент платит большие взносы по кредиту, а  затем  с каждым разом сумма платежа уменьшается.

Платеж = фиксированная часть + проценты.

В данном случае фиксированная часть – погашение тела займа.

Рассмотрим, как рассчитать платежи на основе дифференцированной схемы.

Пусть К - предоставленный кредит (тело кредита),

n – число месяцев  выплаты основного долга,

r % – годовая процентная ставка,

p % — месячная процентная ставка.

Тогда p % = r % :12. 

Найдем общую сумму платежа (погашение кредита) для нашего случая.

Обозначим эту сумму через Х. Она складывается из ежемесячных выплат.

Это и будет общая сумма платежа (погашение кредита) при дифференцированном (или  регрессивном) способе погашения кредита.

Задачи про вклады.

 

Задача 1

Марина поместила 600 000 рублей в банк на 4 месяца под 12% годовых с учетом капитализации процентов, то есть по истечении каждого месяца к ее вкладу добавляются деньги, начисленные в качестве процентов. Какая сумма будет на счете Марины через 4 месяца? Ответ округлите до целого количества рублей.

Решение.

Если банк применяет ставку по вкладу с учетом  капитализации процентов, то каждый месяц банк увеличивает сумму на счету вкладчика на  12% :12=1%, то есть увеличивает в 1,01 раз.

Месяц	Вклад (тыс. руб)
1	600*1,01
2	(600*1,01)*1,01
3	(600*1,01*1,01)*1,01
4	(600*1,01*1,01*1,01)*1,01

 

600*(1,01)³*1,01 = 600*1,04060401 = 624,362406(тыс. руб) = 624 362,406 руб.

Ответ: 624 362 рублей.

 

Задача 2.

Николай положил в банк 50 000 рублей под 10% годовых. В конце каждого года банк начисляет 10% годовых, то есть увеличивает вклад на 10%. Сколько денег окажется на вкладе через 3 года?

Решение.

 В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10%, то есть увеличивает в 1,1 раз.

Год	Вклад (тыс. руб)
1	50*1,1
2	50*1,1*1,1
3	50*1,1*1,1*1,1

50*(1,1)³ = 50*1,331 = 66,55(тыс. руб) = 66 550 руб.

Ответ:  66 550 рублей.

Задача 3

Первый банк предлагает открыть вклад с процентной ставкой 10%, а второй - 11%. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Клиент сделал одинаковые вклады в оба банка. Через два года второй банк уменьшил процентную ставку по вкладу с 11% до Р%. Еще через год клиент закрыл оба вклада и оказалось, что второй банк принес ему больший доход, чем первый. Найдите наименьшее целое Р, при котором это возможно.

Решение.

 В конце каждого года 1 банк увеличивает вклад на 10%, то есть увеличивает в 1,1 раз. Второй банк сначала увеличивал вклад на 11%, то есть увеличивает в 1,11раз, а потом на Р%, то есть увеличивает в (1 + Р*0,01) раз. 

Год	Вклад в 1 банке	Доход в 1 банке	Вклад во 2 банке	Доход во 2 банке
1	S*1,1		S*1,11
2	S*1,1*1,1		S*1,11*1,11=S*1,2321
3	S*1,1*1,1*1,1=S*1,331	1,331S – S= = 0,331S	(S*1,2321)(1 + Р*0,01)= = 1,2321S+0,012321РS	1,2321S+0,012321РS -S= = 0,2321S+0,012321РS

 По условию задачи второй банк принес клиенту  больший доход, чем первый. Получаем неравенство:

0,2321S+0,012321РS > 0,331S.

Поделим обе части неравенств на S :

0,2321+0,012321Р > 0,331.

0,012321Р > 0,331 - 0,2321

0,012321Р > 0,0989

Р > 0,0989 : 0,012321

Р > 8,02... . По условию задачи Р- наименьшее целое число, поэтому P = 9.

Ответ: 9%.

Задача 4

1 мая 2005 года Марина положила 10 000 000 рублей в банк сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под а процентов годовых. Первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов. Найдите а, если известно, что через 6 месяцев  сумма вклада Марины составит 10 400 000 рублей, а через  12 месяцев сумма вклада увеличится ровно на а %.

Решение.

В конце года  банк увеличивает вклад на а%, то есть увеличивает его  в (1 + 0,01а) раз. Через месяц  сумма вклада увеличивается на (а :12)% .

Ответ: 8,16 %.

Задачи про кредиты.

Задача 1

Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 12% . Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно одинаковую сумму денег, чтобы через год выплатить  всю сумму, взятую в кредит, вместе с процентами. Сколько рублей он должен вносить в  банк ежемесячно?

Решение.

Аннуитентный способ погашения кредита.

Клиент взял в банке кредит 60 000 рублей на год под 12% , значит,   он за год  должен вернуть  сумму, взятую в кредит вместе с процентами, в количестве 60 000*1,12 = 67 200(руб). Погашая  кредит, клиент вносит в банк ежемесячно одинаковую сумму денег:

67 200 : 12 = 5 600 (руб).

Ответ:  5 600 рублей.

 

Задача 2

Клиент 15 января 2012 года взял в банке кредит 1 500 000 рублей. План расчета по кредиту: 15 числа каждого следующего месяца банк начисляет 0,5% на оставшуюся сумму долга, затем клиент переводит в банк платеж.  На какое минимальное количество месяцев клиент может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300000 рублей?

Решение.

Дифференцированный  способ погашения кредита.

Первый процентный платеж составляет  0,005 от суммы долга: 1,5*0,0075 = 0,0075 (млн. руб) 

 Первая выплата была наибольшей. По условию задачи ежемесячные выплаты должны быть не более  300 000 рублей = 0,3 млн рублей. Получаем неравенство:   

0,3n - 0,0075n  ≥ 1,5;

0,2925n ≥ 1,5,  

n ≥ 1,5 : 0,2925,

n ≥ 15 000 : 2925, 

n ≥  5,128...

Так как n - целое число, то  минимальное количество месяцев, на которое  клиент может взять кредит, будет 6 месяцев.

Ответ: 6 месяцев.

Задача 3

15 февраля 2012 года Олег взял в банке 2150000 рублей в кредит под 15% годовых. 15 февраля каждого года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Олег переводит в банк платеж в х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Олег выплатил долг двумя равными платежами?

Решение.

Аннуитентный способ погашения кредита.

Олег взял в банке 2 150 000 рублей в кредит под 15% годовых, значит, 15 февраля 2013 года и 15 февраля 2014 года его долг увеличится в 1,15 раз.

Год	Долг (руб)	Платеж (руб)
2013	2 150 000*1,15 = 2 472 500	х
2014	(2 472 500 - х)*1,15 = 2 843 375 — 1,15х	х

В 2014 году суммы долга и платеж равны, получаем уравнение: 2 843 375 - 1,15х = х

2,15х =  2 843 375,  х =2 843 375 : 2,15, х = 1322500. Значит, чтобы Олег выплатил долг двумя равными платежами, сумма платежа должна составлять 1 322 500 рублей.

Ответ: 1 322 500 рублей.

Задача 4

В июле планируется взять в банке  кредит на сумму 36 млн рублей на некоторый срок (целое количество лет). Условия его возврата таковы:

• в январе долг возрастает на 10 процентов по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь надо выплатить часть долга;
• в июле долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга  на июль прошлого года.

На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат составила 54 млн рублей.

Решение.

Дифференцированный  способ погашения кредита.

Пусть кредит взят на n лет.  Тогда долг 36 млн. рублей делится на n равных частей, получаем сумму, которую надо  выплачивать ежегодно. Процентный платеж составляет 10% долга, то есть долг увеличивается ежегодно в 1,1 раза.

Найдем процентные  платежи за n лет:

Получаем уравнение

1,8(n – 1) = 18.
      n – 1 = 10,
            n = 11.

Ответ: 11 лет. 

              Задача 5

В июле планируется взять в банке  кредит на сумму 12 млн рублей на  срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

• в январе долг возрастает на а процентов по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь надо выплатить часть долга;
• в июле долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга  на июль прошлого года.

Найдите а, если известно, что наибольший годовой платеж составит не более 3,38 млн рублей, а наименьший — на менее 1,464 млн рублей.

Решение.

Кредит взят на 10 лет.  Тогда долг  делится на 10 равных частей, т е 12 : 10=1,2 (млн руб.). Получили сумму, которую надо  выплачивать ежегодно. Процентный платеж составляет а% долга, то есть долг увеличивается в (1+ 0,01а) раз. а% - это а*0,01=0,01а.

Год	Долг (млн руб) на январь	Выплата долга (млн руб)	Процентный платеж (млн руб)	Ежегодный платеж (млн руб)
1	12*(1 + 0,01а)	12:10 = 1,2	12*0,01а = 0,12а	1,2 + 0,12а = 0,12*(10 + а)
10	1,2*(1 + 0,01а)	1,2	0,012а	1,2*(1 + 0,01а)

Наибольший годовой платеж (первый платеж) составит не более 3,84 млн рублей, а наименьший (последний платеж) — на менее 1, 464 млн рублей.

Получаем систему неравенств:

Решим каждое неравенство :

0,12*(10 + а) ≤ 3,84                 1,2*(1 + 0,01а) ≥ 1,464

1,2 + 0,12а  ≤ 3,84                   1,2 + 0,012а ≥ 1,464

0,12а ≤ 3,84 — 1,2                   0,012а ≥ 1,464 -1,2

0,12а ≤ 2,64                              0,012а ≥ 0,264

а ≤ 2,64 : 0,12                           а ≥ 0,264 : 0,012

а ≤ 264 : 12                               а ≥ 264 : 12

а ≤ 22.                                       а ≥ 22.

Имеем     22  ≤  а  ≤  22 .

Значит, а = 22.  Кредит взят под 22% годовых.

Ответ: 22%.

Литература.

Математика. ЕГЭ. Алгебра: задания с развернутым ответом: учебно - методическое пособие/ Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. - Ростов-на-Дону: Легион, 2016.