Повышение качества знаний путем формирования логической грамотности младших школьников

Ибрагимова Е.В.,
учитель ГБОУ Гимназии № 261
Санкт-Петербурга

Необходимым условием качественного обновления нашего общества является умножение его интеллектуального потенциала. Интеллектуальный уровень личности характеризуется в целом двумя основными параметрами: эрудицией (объемом приобретенной информации) и интеллектуальным развитием (способностью использовать эту информацию для решения возникающих в процессе деятельности различного рода проблемных ситуаций). Современному ученику нужно передать не столько информацию как собрание готовых ответов, сколько метод их получения, анализ и прогнозирование развития, то есть формировать у учащегося общелогические мыслительные умения.

Решение этой задачи во многом зависит от общеобразовательной школы как базового звена системы непрерывного образования.

Большинство проблем современной начальной школы основано на противоречии между старым и новым, которое обострилось в связи с реформированием образования в стране.

Например, на вопрос о том, каким должен быть результат обучения математике в начальной школе, многие учителя отвечают: «Школьники должны иметь вычислительные навыки, уметь решать уравнения с одним неизвестным и некоторые типы доступных им сюжетных задач, знать геометрические фигуры, названия компонентов арифметических действий, простейшие числовые выражения, равенства и неравенства». Сказанное дополняется замечанием, что, давая эти знания, необходимо развивать у младших школьников логическое мышление.

В ответах просматривается превалирование привычной и распространенной в учительской среде установки на отработку практических умений и навыков, имевших жизненное значение для выпускника начальной школы в период ликвидации массовой безграмотности. Начало же нынешнего века ознаменовано компьютеризацией не только производства, но и быта. В этих условиях упомянутые умения и навыки как цели изучения математики потеряли свою актуальность. Они приобрели другое значение и потому заняли иное место в системе целей обучения младших школьников математике.

На самом деле основная цель изучения математики в начальной школе — это зарождение системы математических понятий, планомерное и систематическое построение которой обусловливает главный результат обучения, а именно, развитие видов, форм и свойств мышления и других познавательных процессов. Цели же, называемые учителями, носят промежуточный, вспомогательный характер.

Упоминание о развитии учащихся в виде примечания свидетельствуют об отсутствии ясного понимания учителями того, как связаны между собой обучение математике и развитие школьников. В частности, понимания того, что развитие младших школьников является первостепенной целью их математического образования в целом, а на пути движения к ней преодолевается многоаспектная и сложная система так или иначе связанных с ней целей.

В условиях современной системы образования проблема развития логического мышления (мышления в форме понятий, суждений и умозаключений по правилам и законам логики (формальной), осуществляемого осознанно и развернуто в речи и с ее помощью) приобретает особую актуальность.

Необходимо проведение специально организованной работы по формированию и совершенствованию умственной деятельности учащихся, вооружению их "логической грамотностью" — свободным владением комплексом элементарных логических понятий и действий, составляющих азбуку логического мышления и необходимый базис для его развития.

Логика мышления не дана человеку от рождения. Он овладевает ею в процессе жизни, в обучении. При отсутствии специальной педагогической работы может не только не происходить развитие логического мышления, но и наблюдаться его деградация. Сензитивным периодом для развития логического мышления является возраст до 12-14 лет, поскольку психологи отмечают, что к этому возрасту складываются все основные логические операции и в дальнейшем существенных изменений не происходит. Поскольку большая часть сензитивного периода приходится на начальную школу (период наивысших возможностей для наиболее эффективного развития какой-либо стороны психики), необходима целенаправленная работа по развитию логического мышления младших школьников , и она должна быть специально организована.

Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление учащихся. Об этом говорится в методической литературе, в объяснительных записках к учебным программам. К сожалению, большинство детей с трудом овладевают начальными приемами математического мышления, что можно объяснить стихийностью развития логического мышления. Выпускники начальной школы, у которых не сформированы основные логические приемы мышления, переходя в среднее звено, сталкиваются с большими трудностями.

Содержание логической подготовки младших школьников включает основные логические умения и соответствующие им мыслительные операции.

К концу обучения в начальной школе учащимся необходимо овладеть следующими логическими знаниями и умениями:

I. Выделение признаков предметов и оперирование ими.

1. Выделение признаков предметов (конкретных и абстрактных).

2. Сравнение двух и более предметов:

а) выявление общих признаков (свойств) двух, трех и более предметов;
б) выявление отличительных признаков двух, трех и более предметов;

3. Выявление общего свойства группы предметов:

а) подбор общего названия (собирательного имени) для группы предметов;
б) выявление лишнего предмета в данной группе;
в) нахождение недостающего предмета в данной группе;
г) сравнение групп предметов.

4. Выявление закономерностей расположения предметов в ряду или матрице.

5. Узнавание предметов по их признакам.

6. Описание предметов по его признакам.

II. Классификация.

1. Словесная характеристика классов в готовой классификации.

2. Деление на классы по заданному основанию. Отнесение объектов к классу.

3. Введение основания для самостоятельно проводимой классификации.

4. Проверка результатов проведенной классификации.

III. Понимание и правильное употребление логических слов (и, или, все, некоторые и другие).

IV. Определения.

1. Выделение признаков объекта.

2. Выделение характеристических совокупностей признаков объекта.

3. Описание объектов по их признакам.

4. выделение родо-видовых отношений.

5. Построение определений через род и видовое отличие (по готовым наборам слов).

V. Простейшие умозаключения и доказательства.

1. Умозаключения по индукции.

2. Умозаключения по аналогии.

3. Дедуктивные умозаключения:

а) на основе свойств отношений эквивалентности и порядка;
б) по правилам заключения, отрицания и силлогизма.

4. Доказательство или опровержение утверждений с помощью примера или контрпримера.

На данный момент не существует единой программы по осуществлению логической подготовки в течение всего срока обучения в начальной школе. Но логическая составляющая в той или иной степени представлена в программах всех авторских коллективов, причем каждый из них по-своему определяет содержательный аспект и последовательность формирования логических умений.

Часть заданий уже предполагает наличие у ребенка сформированных логических операций. Кроме того, почти все задания в этих учебниках представлены в виде текстовых заданий, а это усложняет ребенку их выполнение, т.к. мышление младших школьников все еще остается наглядно-образным.

Таким образом, налицо противоречие между необходимостью развития логического мышления младшего школьника и отсутствием доступного учителю систематизированного дидактического материала, направленного на развитие логического мышления учащихся.

Учителя включают нестандартные арифметические задачи в уроки математики, предлагают для домашней самостоятельной работы, используют во внеклассной работе с учениками. Однако результативность такой работы иногда оказывается не столь высокой, как хотелось бы. При выполнении олимпиадных работ ученики не могут самостоятельно решить задачу, у них возникают трудности при оформлении решения.

Для успешного обучения учащихся решению нестандартных задач должны быть сформированы три составляющих мышления:

• высокий уровень элементарных мыслительных операций: анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации и др.;
• высокий уровень активности, раскованности мышления;
• высокий уровень организованности и целенаправленности.

Эффективность обучения младших школьников решению нестандартных задач зависит, на наш взгляд, от нескольких условий.

• Во-первых, задачи следует вводить в процесс обучения в определенной системе с постепенным нарастанием сложности, так как непосильная задача мало повлияет на развитие учащихся.
• Во-вторых, необходимо предоставлять ученикам максимальную самостоятельность в поиске решения задач, давать возможность пройти до конца по неверному пути, убедиться в ошибке, вернуться к началу и искать другой, верный путь решения.
• В-третьих, нужно помочь учащимся осознать некоторые способы, приемы, общие подходы к решению нестандартных арифметических задач.

С некоторыми способами поиска путей решения нестандартных задач учитель может познакомить учащихся.

Как показала моя практика, обучение младших школьников решению нестандартных арифметических задач можно разделить на два этапа.

На первом этапе проводится специальная работа по выводу и осмыслению общих подходов к решению таких задач. При этом важно, чтобы ученики уже усвоили процесс решения любой арифметической задачи (читаю задачу; выделяю, что известно и что надо узнать, и т.д.); познакомились с приемами работы на каждом этапе решения задачи (виды наглядной интерпретации, поиска решения, проверки решения задачи и др.). На втором этапе учащиеся применяют ранее сформулированные общие приемы в ходе самостоятельного поиска решения конкретных задач.

Вывод: при поиске решения незнакомой задачи полезно сделать чертеж (рисунок), т.к. он может быть способом решения задачи.

Планомерное и систематическое решение нестандартных задач постепенно накапливает у учащихся разные способы их решения, которые объединяются в памятке.

Нестандартные задачи в курсе математики не имеют общих правил. Процесс решения нестандартных задач состоит в последовательном применении двух основных операций:

• сведения путём преобразования или переформулировки нестандартной задачи к стандартной;
• разбиение нестандартных задач на несколько стандартных подзадач.

Трудность таких задач обусловлена тем, что они требуют проведения дополнительных исследований и рассмотрения различных вариантов. Здесь не нужны знания теории, выходящие за рамки программы, нужны умения думать, мыслить, догадываться, соображать.

В процессе обучения действует принцип минимакса. Принцип минимакса заключается в следующем: школа должна предложить ученику содержание образования по максимальному уровню, а ученик обязан усвоить это содержание по минимальному уровню. Слабый ученик ограничится минимумом, а сильный — возьмет все и пойдет дальше.

Все остальные разместятся в промежутке между этими двумя уровнями в соответствии со своими способностями и возможностями — они сами выберут свой уровень по своему возможному максимуму. Обучение осуществляется деятельностным методом, когда дети не получают знания в готовом виде, а “открывают” их в процессе самостоятельной исследовательской деятельности. Я предлагаю учащимся систему вопросов и заданий, подводящих их к самостоятельному “открытию” нового свойства или отношения.

Наблюдения показывают, что даже при решении несложных нестандартных задач, учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, мы должны поставить себя на место решающего, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Наша помощь, оставляющая различную долю самостоятельной работы, позволит ученикам развивать творческие способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь решения новых задач.

Этому помогут рекомендации, содержащиеся в памятке.

Памятка

Если тебе трудно решить задачу, то попробуй:

1. Сделать к задаче рисунок или чертеж; подумай, может быть, нужно сделать на них дополнительные построения или изменить чертеж в процессе решения задач.
2. Ввести вспомогательный элемент (часть);
3. Использовать для решения задачи способ подбора;
4. Переформулировать задачу другими словами, чтобы она стала более понятной и знакомой;
5. Раздели условие или вопрос задачи на части и реши ее по частям;
6. Начать решение задачи с «конца».

Детям объясняю, что данная памятка может применяться в любой последовательности или комбинированно.

Анализ методической и специальной литературы показал, что до настоящего времени не существует определенной классификации нестандартных задач. И это не случайно, так как практически невозможно определить единый признак – основание для классификации таких задач.

Опыт работы показывает, что для развития интеллектуальных способностей необходимо включать в процесс обучения разнообразные виды нестандартных задач (не ограничиваться материалами, предложенными в учебнике).

Нестандартные задания по математике, используемые в начальной школе, условно можно разделить на следующие классы:

• задачи на установление взаимно-однозначного соответствия;
• задачи о лжецах;
• задачи, решаемые с помощью логических выводов;
• задачи о переправах;
• задачи о переливаниях;
• задачи о взвешиваниях;

Необходимо стремиться к тому, чтобы учащиеся испытывали радость от решения трудной задачи. Первая задача определенного вида решается под руководством учителя (чаще всего она более сложная, чем другие задачи серии), она служит для выведения приема или способа, который помогает решить задачу. На следующих задачах дети упражняются в применении приема, который они сформулировали, и выделяют некоторые ориентиры, помогающие определить, в каких случаях удобно использовать данный способ или прием.

Вот несколько методов решения:

• алгебраический;
• арифметический;
• графический;
• практический;
• метод предположения;
• метод перебора(подбора)
• метод рассуждений;
• метод таблиц;
• метод графов;
• метод бильярда;
• метод кругов Эйлера.

Охарактеризуем кратко эти способы.

Метод перебора всевозможных вариантов, но в этом случае трудно удержать в памяти все звенья логических рассуждений.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условия задачи, показав, что других решений быть не может.
Встречаются задачи, в которых алгебраический или арифметический метод недостаточно эффективен. В этом случае при поиске решения используется метод предположения.

Метод рассуждений - самый примитивный способ. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи, задачи на установление взаимно-однозначного соответствия. Стоит отметить, что словесные рассуждения можно показать графически, с помощью графов и блок-схем. Графическое представление решения логических задач делает этот процесс более наглядным.

Задача.

Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Графический метод - даёт возможность более тесно установить связь между арифметическим и геометрическим материалами, развить функциональное мышление детей.

Благодаря применению графического способа в начальной школе можно сократить сроки, в течение которых ученик научится решать различные задачи. В то же время умение графически решать задачу — это важное политехническое умение.Графический способ даёт иногда возможность ответить на вопрос такой задачи, которую дети ещё не могут решить арифметическим способом.

Анализируя чертеж, ученики замечают, что на нем есть отрезки одинаковой длины, но не все. Учитель предлагает дорисовать чертеж, чтобы все отрезки состояли из одинаковых частей. Затем сообщает, что в таких случаях можно ввести вспомогательный элемент - часть. Примем число шариков в третьей коробке за 1 часть, тогда число шариков в четвертой коробке составит 4 части, в первой - 2 части, во второй - 2 части. Затем выполняется арифметическое решение:

Метод графов

Граф — это совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как вершины, или узлы графа (они обозначаются точками), а связи — как дуги, или рёбра.

Если связь однонаправленная обозначается на схеме линиями со стрелками, если связь между объектами двусторонняя обозначается на схеме линиями без стрелок.

Комбинаторные задачи – это задачи о перечислении или подсчёте количества различных конфигураций (например, перестановок) образуемых элементами конечных множеств, на которые могут накладываться определённые ограничения.

Основные направление работы с комбинаторными задачами – это переход от осуществления случайного перебора вариантов к проведению системного перебора. Задачи данного вида нагляднее решать при помощи графа.

Метод таблиц - основной прием, который используется при решении текстовых логических задач, заключается в построении таблиц. Таблицы не только позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ, но в значительной степени помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи.

аблицы помогают делать правильные логические выводы в ходе решения задачи и позволяют наглядно представить условие задачи или ее ответ.

Этот прием не обладает универсальностью, т.к. предназначен для решения только одного типа задач. Построение таблицы требует анализа находящейся в ней информации, умения сравнивать и сопоставлять.

Способ блок-схем

Блок-схемы – это один из приемов графического решения логических задач. Блок-схемой называют графическое представление алгоритма, в котором он изображается в виде последовательности связанных между собой функциональных блоков, каждый из которых соответствует выполнению одного или нескольких действий. Суть этого приема состоит в следующем: сначала выделяются операции. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде блок-схемы. Они широко применяются в программировании. Блок-схемы используются при решении задач, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задач, связанных с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что он не совсем удачный, так как при этом трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

Способ бильярда

Надеюсь, что Вам известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны – упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представим себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма.

Рассмотрим задачу.

Пусть имеются два сосуда – трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 4 литра воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение.

В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали – в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль линии сетки, выходящей из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Пусть шар находится в левом нижнем углу и после удара начнет перемещаться вверх вдоль левой боковой стороны параллелограмма до тех пор, пока не достигнет верхней стороны. Это означает, что мы полностью наполнили водой малый сосуд. Отразившись упруго, шар покатится вправо вниз и ударится о нижний борт в точке, координаты которой 3 по горизонтали и 0 по вертикали. Это означает, что в большом сосуде 3 литра воды, а в малом сосуде воды нет, то есть мы перелили воду из малого сосуда в большой сосуд.

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы, в конце концов, мы попадаем в точку, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, мы получаем ответ и последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически на рисунке и в таблице.

ТАБЛИЦА ПЕРЕЛИВАНИЙ
0 0 3 3 5 0 1 1 4
0 3 0 3 1 1 0 3 0

Итак, нестандартные задачи благоприятно влияют на развитие математического мышления младших школьников. Кроме того, занимательная форма данных задач содействует развитию интереса учащихся начальных классов к математике, повышению их активности на уроке, предотвращает психическую усталость однообразной деятельностью, повышает качество обучения математике.

Математика – это гимнастика для ума, которая формирует и развивает способность мыслить логически и рассуждать аргументировано. В математике, как и в спорте, нельзя достичь успеха в ходе пассивных наблюдений за действиями других. Нужны систематические напряженные упражнения, что связаны с работой мысли, под воздействием которых ребенок постепенно начинает овладевать сначала самыми простыми, а потом все более сложными умственными операциями. Натренированный таким образом мозг начинает совершенствоваться. Это и есть самый ценный результат изучения математики.

Список литературы

1. Барташников А. А., Барташникова И. А. Учись мыслить. – Харьков; «Фолио», 1998 г.
2. Вахновецкий Б. А. Логическая математика для младших школьников. – Москва: «Новый учебник», 2004 г.
3. Винокурова Н. К. Развитие творческих способностей учащихся. – Москва: Образовательный центр «Педагогический поиск», 1999 г.
4. Горячев А. В. Информатика в играх и задачах. Методические рекомендации для учителя. – Москва: «Баласс», 1998.
5. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. «Моя математика. Методические рекомендации для учителя».- М., Баласс, Изд.Дом РАО, 2005 г
6. Зайкин М. И., Колосова В. А. Провоцирующие задачи как средство развития критичности мышления школьников. – «Начальная школа», 2002 г. № 9, с 73-78.
7. Зак А. З. Задачи для развития умственных действий. – Начальная школа, 1985 г. № 5, с 29-31.
8. Левитас Г. Г. Нестандартные задачи в курсе математики начальной школы. – «Начальная школа», 2001 г. № 5, с. 61-67.
9. Мухина В. С. Детская психология. – Москва: ООО «Апрель Пресс», ЗАО Издательство ЭКСМО-Пресс, 2000 г.
10. Николау Л. Л. Старинные задачи для развития интереса к математике. – Начальная школа: 2001 г, № 5, с. 67-70.
11. Образовательная система «Школа 2100».Сборник программ/Под научной редакцией А.А.Леонтьева.- М.; Баласс, Изд.Дом РАО,2004г
12. Программно-методические материалы. Математика. Начальная школа/Сост. И. А. Петрова, Е. О. Яременко. – Москва: Дрофа, 2000 г.
13. Ращикулина Е. Н. Развитие интеллектуальной готовности детей к школьному обучению. – Начальная школа; 2004 г, № 8, с . 89-92.
14. А.И.Савенков. Маленький исследователь: Как научить младшего школьника приобретать знания. –Ярославль, Академия развития,2002г
15. Талызина Н. Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. – Москва: Просвещение, 1988 г.
16. Тихомирова Л. Ф., Басов А. в. Развитие логического мышления детей. – Ярославль: ТОО «Академия развития», 1996 г.
17. Тихомирова Л. Ф. Упражнения на каждый день: Логика для младших школьников. – Ярославль: «Академия развития», 1998 г.
18. Тонких А. П. Теоретические основы решения нестандартных и занимательных задач в курсе математики начальных классов. – Начальная школа, 2002 г, № 5, с 17-21.
19. Фридман Л.Н., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М., 20
20. Хацкевич Р. П. Математика для дошкольного и младшего школьного возраста. – Москва: АСТ, 2000 г.
21. Яковлева С. Г. Развитие логических суждений у младших школьников. – Начальная школа; 2002 г. № 12, с 84-87.