Как сделать урок математики интересным

Туманина Елена Николаевна,
учитель математики
МОБУ Лицей №6, г. Мелеуз
Республика Башкортостан.

Задача учителя заключается не только в том, чтобы увеличить объем знаний за счет углубления и расширения теоретической составляющей данного профильного предмета, но и продемонстрировать его роль в развитии других областей знаний, его значимость в эмоциональной области человеческого познания, через знакомство с историей математики, эволюцией математических идей. Обучающиеся, для которых предмет является непрофильным, должны получить не только знания, соответствующие программе, но и убежденность в глубокой взаимосвязи всех изучаемых ими предметов. Установление связей между математикой и изучаемых в школе предметами дает учителю возможность формировать у обучающихся целостность картины мира, показать многообразие свойств живой и неживой природы.

С «математиками» все просто, им доставляет сам процесс изучения математики удовольствие, как же быть с «гуманитариями»? Известно, что у гуманитариев преобладает наглядно - образное мышление, восприятие красоты математики направлено на ее проявление в природе, произведениях искусства, в конкретных математических объектах. Они с большим интересом изучают вопросы истории математики, прикладные аспекты, занимательный материал. Занимательность - это прием учителя, который воздействуя на чувство ученика, способствует созданию положительного настроя к учению и готовности к активной мыслительной деятельности. Занимательный материал требует достаточно обширных знаний. Это побуждает учащихся читать дополнительную литературу, самостоятельно искать ответы за рамками учебника.

Например, при знакомстве с последовательностями необходим подбор задач, которые показывают непосредственную связь с действительностью.

Попробуем построить материал по интересам.

Задача. В период интенсивного роста человек растёт в среднем на 5 см в год. Сейчас рост у ученика С. – 180 см. Какого роста он будет в 2018 году? Задача. Ежедневно каждый болеющий гриппом человек может заразить 4 окружающих. Через сколько дней могут заболеть все ученики нашей школы?

Для «историков».

Также необходимо подчеркнуть, что прогрессии известны издавна, а потому нельзя сказать, кто их открыл. Ведь и натуральный ряд – это арифметическая прогрессия. Во время раскопок в Египте был найден папирус, который датируется 2000 г. до н.э., но и его было переписано из другого, еще более раннего, отнесенного к ІІІ тысячелетию до н.э. Ученые расшифровали текст папируса, содержание некоторых задач дает возможность отнести их к задачам на прогрессии.

О том, как давно была известная геометрическая прогрессия, свидетельствует и легенда об истории изобретения шахмат. Изобретатель шахмат, ученый Сета, попросил в награду у индийского принца Сирама за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клеточку шахматной доски положить одно зерно, на вторую в два раза больше и так далее.

В вавилонских текстах рассказывается о том, что увеличение освещенной части лунного диска на протяжении первых пяти дней происходит по закону геометрической прогрессии со знаменателем 2, а в следующие десять дней – по закону арифметической прогрессии с разностью 16. Широкий интерес вавилонян к астрономии делает понятным возникновение этой задачи.

Составлением аналогичных задач занимались много любителей математики на протяжении многих столетий. Задачи на прогрессии встречаются в одной из древнейших памяток права – «Русской правде», составленной при Киевском князе Ярославе Мудром (ХІ ст.). В этом документе есть статья, посвященная вычислению приплода от 22 овец за 12 лет при условии, что каждая овца ежегодно приносит одну овцу и два барана. Также содержатся сведения о приплоде от пчел за определенный промежуток времени, о количестве зерна, собранного на определенном участкае земли и др. Эти задачи не имели хозяйственного значения, а были результатом развития интереса к математике и математическому содержанию данных задач.

Значительное количество задач на прогрессии есть в «Арифметике» Л. Магницкого, которая была основным математическим учебником в России на протяжении почти полстолетия.

Для любителей «азартных» игр.

Задача: С древнейших времен известно немало игр в камушки. Вот одна их них. Играют двое. Они поочередно кладут любое количество камней в кучу от 1 до 10. Выигрывает тот, кто доведет количество камней в куче до 200. Кто победит: первый или второй? И как надо играть что бы выиграть ( т.е. надо найти выигрышную стратегию)

Решение: начнем рассуждать с конца. Если перед моим ходом в кучу 190-199 камней, то я ставлю 200 и побеждаю. Поэтому перед этим должен поставить противнику ровно 189.

Рассуждая дальше логично, получим выигрышную последовательность: 2,11, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89, 101, 112, 123, 134, 145, 156,167,178,189, 200. Итак, первый, кто образует кучу из 2 камней, обеспечивает себе выигрыш.

Задача: Вот другая игра в камушки. Она носит название «ним». Играют двое и по очереди берут камни из двух куч.

За один ход можно взять:

а) любое число камней из двух куч или
б) по одинаковому количеству из обеих куч.

Выигрывает тот, кто берет последним. Первоначальное количество камней в кучах произвольное.

А теперь вопрос: кто выиграет в этой игре (первый или второй)? Как играть, чтобы выиграть?

Решение: Рассмотрим пример игры. Будем записывать остаток камней после каждого хода игроков:
Первая куча камней (К_1) Вторая куча камней К_2
Начальное значение 1000 18
I игрок 11 18
II игрок 5 12
I игрок 5 3
II игрок 1 3
I игрок 1 2
II игрок 1 1
I игрок 0 Выиграл

Легко согласится, что в приведенном примере первый игрок, поставив набор (1,2), обеспечил себе победу, поэтому такой набор камней назоыем выигрышным. Стратегия игры на выигрыш поэтому проста: надо вычислить выигрышный набор для всех разновидностьей камней в кучах и постоянно ставить их противнику.

В первом наборе разновидность ∆=1. Взяв разновидность ∆=2, мы видим, что первое число должно быть такое, какое еще не встречал (3), а второе число (5)- это сумма ∆ и первого и т.д. получим последовательность,выигрышных наборов.
∆ К_1 К_2 ∆ К_1 К_2
1 1 2 5 8 13
2 3 5 6 9 15
3 4 7 7 11 18
4 6 10 8 12 20

В 1202 году появилась книга итальянского математика Леонардо из г. Пиза, в которой содержались сведения по математике, приводились решения всевозможных задач. Среди них была простая, не лишенная практической ценности, задача о кроликах: "Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?" В результате решения этой задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т.д. Этот ряд чисел позже был назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо.

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ.

Леонардо Фибоначчи (1180-1240)-крупный итальянский математик, автор «Книги абака».

Эта книга несколько веков оставалась основным хранилищем сведений по арифметике и алгебре. Именно по трудам Л. Фибоначчи вся Европа осваивала арабские цифры, систему счета, а также практическую геометрию. Они оставались настольными учебниками, чуть ли не до эпохи Декарта (а это уже 17 век!). Но по иронии судьбы до нашего времени сохранилась память только об одной задаче из этой книги.

Именно в этой задаче появляется последовательность, обессмертившая имя Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

В этой последовательности сумма любых двух предыдущих чисел равна следующему числу: 1+2=3, 3+5=8, 5+8=13,… .Отношение любого числа последовательности к предыдущему колеблется вокруг значения, которое ещё в древности под названием золотого сечения: 1,61803398…

«Золотое сечение» определяется как такое положительное число, которое на единицу больше обратного к нему числа: t - = 1.

Для «художников».

«Золотое сечение», как идеальная и приятная глазу пропорция человеческого тела и его элементов, широко использовалось многими художниками, начиная с другого великого Леонардо – Леонардо да Винчи.

Много интересного в арифметики чисел Фибоначчи. Каждое третье число Фибоначчи чётно, каждое четвёртое делится на три, каждое пятнадцатое оканчивается нулём, два соседних числа взаимно просты. Число ап делится на число ак тогда и только тогда, когда п делится на к.

Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют рекурентными, или возрастными последовательностями. Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи. Оказалось, что они обладают рядом интересных и важных свойств. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции. Ф - обозначение золотой пропорции от имени Фидий - греческий скульптор, применявший золотую пропорцию при создании своих творений. [Если при делении целого на две части отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части, то такая пропорция называется "золотой" и равно примерно 1,618].

О золотой пропорции много говорим в предпрофильной подготовке учащихся, т.к. эта тема представляет собой богатейший материал для организации проектной и исследовательской деятельности обучающихся.

Свойства ряда чисел Фибоначчи неразрывно связаны с золотой пропорцией и выражают порой магическую и даже мистическую сущность закономерностей и явлений.

Для «философов».

Фундаментальную роль числа в природе определил еще Пифагор своим утверждением "Все есть число". Поэтому математика являлась одной из основ религии последователей Пифагора (пифагорейского союза). Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях.

Для «ленивых».

На тему «последовательности» есть задачи - шутки, вот одна из них

Задача: Девятиклассник Паша пошел в школу, но на середине пути вспомнил, что сегодня контрольная, и повернул домой. Пройдя ровно половину расстояния (от поворота до дома), он представил папу, который сегодня с утра дома, и снова повернул к школе. Когда он прошел половину расстояния (от поворота до школы), то все-таки вернулся. Пройдя половину расстояния до дома, он опять повернул и т.д. Куда придет Паша?

Ответ: Паша будет курсировать между точками 1/3 и 2/3, все время приближаясь к ним при поворотах.

Вспомним В. В.Маяковского : «Человек – впервые сформулировавший, что «дважды два четыре» – великий математик, даже если он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо большие вещи например, паровоз с паровозом, - не математики». «Паровозная» математика никогда не сможет угнаться за практикой: все время будет проявляться что-нибудь новенькое. А «окурочная» , т.е. теоретическая, разрабатывает универсальные методы, и история знает множество примеров, когда у математики в арсенале уже имеется готовый метод решения новейшей проблемы

Человечество ценит математику за ее прикладное значение, за общность и мощь ее методов исследования, за действенные прогнозы при изучении природы и общества.

Математика - это мировоззрение, человек, который владеет математическими методами исследования иначе смотрит на мир, т.к.владеет принципами математического моделирования реальных процессов.

Использованные источники литературы:

1. Ю.Ф. Фоминых «Прикладные задачи по алгебре для 7-9 классов.» издание «Просвещение» 1999 г.
2. Энциклопедия для детей. Математика. Издательский дом «Аванта +» 1998 год.