Первые шаги в геометрию

«Наука, восходя к абстракциям и тем непосредственно, удаляясь от действительности, обретает возможность проникать в нее глубже и разностороннее»
А.Д. Александров

Геометрия прочно вошла в систему образования, начиная с начального общего образования. Цели и результаты обучения геометрии не ограничиваются рамками предмета. Знания геометрии используются в различных областях. В начальном образовании приобретенные навыки помогают укреплять свои умения в таких предметных областях, как изобразительное искусство, технология, в основном общем образовании – физика, химия. Здесь важны не столько специальные геометрические знания, предусмотренные программой, сколько тот ничем незаменимый эффект, который имеет для общего развития личности сам процесс серьезного изучения геометрии.

Уже стало широко распространено мнение, что геометрия, в определенном смысле, является самым «гуманитарным», из «негуманитарных» предметов и провал в геометрической подготовке – это, как правило, своеобразный индикатор неблагополучия и в гуманитарном образовании школьника. Развитие логики и развитие интуиции – две важнейшие равноправные функции геометрического образования. Пуанкаре писал: «Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции».

Геометрия способствует развитию обоих качеств, поскольку логический и интуитивный аспекты в этом предмете переплетаются наиболее тесно. Диалектическое единство двух противоречивых тенденций, которое наблюдается в геометрии и которого нет сегодня ни в одном другом школьном предмете, как раз и делает эту дисциплину, уникальным и необходимым предметом изучения.

Противоречие между «сухой логикой» и «живым воображением» является главной причиной всех методических трудностей во всех вопросах геометрического образования.

Что такое геометрическая фигура? С самого начала надо объяснить, что такое геометрическая фигура, и в чем особенности геометрического метода. Геометрия по словам А.Д. Александрова возникла как опытная наука, но в дальнейшем геометры разработали особый методы решения геометрических задач.

Особенности геометрического метода:

1. Геометрия работает не с реальными объектами (все объекты – воображаемые). Геометрические фигуры – фигуры воображаемые, мыслимые, их реально нет.
2. В практической жизни все измерения выполняются с некоторой погрешностью, все построения – приближенные, не существует идеальных форм.
3. Геометру разрешается пользоваться логикой, которая учит правильно рассуждать.
4. Геометр может рисовать, лепить из глины …

Это будет что-то вместо иллюстрации геометрическому воображению.

Геометрия должна решать практические задачи. Берутся исходные понятия и им приписываются свойства, которые их делают похожими на реальные объекты.

В младших классах целесообразно широкое содержательное изучение наглядной геометрии. В его основе должна лежать максимально конкретная, практическая деятельность ребенка, связанная с различными геометрическими объектами. Программа курса должна максимально соответствовать интересам ребенка, урокам можно придать характер игры.

Основная цель – подготовить учащихся к овладению систематическим курсом геометрии.

Учителя начальной школы могут в доступной и занимательной форме познакомить детей с рядом основных геометрических понятий, научить их ориентироваться в простейших геометрических ситуациях и создать геометрических образы в окружающей обстановке.

Подобные задания предусматривают программы первого класса.

Например, нарисовать на листе две точки, соединить их линией, а потом соединить точки при помощи линейки

Ввести понятие линии, а потом прямой линии (состоящих из множества точек).

Озадачить детей вопросом: «Сколько прямых можно провести через одну точку?»

Правильный ответ дети дают не сразу. В игровой форме учащимся предлагается задание: «Кто больше проведет прямых линий через одну точку». После чего, первоклассники уже смогут сделать вывод: «Бесчисленное множество» .

На интуитивном уровне появляется возможность впервые разобрать с учениками понятия: пересечение прямых в точке, бесконечное множество и т.п.

Объяснить, что прямую можно продолжать бесконечно, а на листке мы чертим отрезки прямых. Понять такое абстрактное понятие помогает иллюстрация в книги Житомирского В.Г. «Геометрия для малышей»

Далее на примере солнечного луча дается понятие луча как части прямой, ограниченного с одной стороны точкой.

C помощью компьютерных программ можно создать двигающиеся лучи, что будет более нагляднее для маленьких детей.

Еще в начальной школе ученикам не составит труда научится выполнять, а учителю подобрать интересные задания на сравнение и измерение отрезков при помощи циркуля и линейки, а также построение отрезка, равного данному. Такие же упражнения применяются и на уроках технологии при выполнении чертежей.

При изучении угла ученики младших классов в состоянии понять, что угол – это не только два луча с общим началом, но и частью плоскости, ограниченной этими лучами.

Много интересных заданий по изучению углов и их сравнению учитель начальной школы может найти в книге Житомирского В.Г. «Геометрия для малышей».

Сохраняя преемственность в обучении между начальной и средней школой, курс геометрии в 7 классе начинается с изучения основных понятий: «Точка. Прямая. Плоскость».

Это основные понятия геометрии, без которых дать другие определения не предоставляется возможным. Здесь уместно поговорить об аксиоматическом методе построения геометрии. Ребята уже знают, что через две различные точки можно провести прямую и при том только одну. Задается вопрос: «Сколько плоскостей можно провести через две различные точки?» А через три точки, не лежащие на одной прямой?»

Полезен пример с дверью (как частью плоскости), закрепленной на петлях в двух точках.

Возможно её открыть? И при этом сколько положений она может занять?

Вывод: «Бесчисленное множество плоскостей».

А если мы закроем дверь на замок? Сколько положений она займет?

Вывод: «Плоскость двери займет одно единственное положение».

Учащиеся сами приходят к выводам:

1. Через две различные точки можно провести прямую и при том только одну.
2. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость и при том только одна.

Ученики могут дополнить эту дискуссию своими примерами из жизни.

Только после этого материала возможно приступить к изучению углов, треугольников. Но ученики не знают, что будет впереди.

Важно уже на первых уроках в 7 классе объяснить учащимся, что критерием в любой науке остается опыт. Так и в геометрии, которая была изначально наукой и остается наукой сейчас.

Геометрия – это наука, созданная человеком для решения геометрических задач (геометрическая задача, в которой существенным являются только два обстоятельства – это размеры (расстояние) и это форма или особенности взаимного расположения предметов. Надо подобрать задачи, понятные семиклассникам. Примеры геометрических задач для первых уроков геометрии:

Задача 1. На рисунке изображена широкая река. В каком месте построить мост, чтобы дорога от А до В была минимальной? (Мост должен быть перпендикулярен берегам).

Задача 2. Даны две одинаковые доски. На рисунке изображен канал, его ширина равна длине доски. Нельзя ли с помощью этих двух досок перебраться из А в В?

Вопрос: Можно ли эту задачу решить? Как?

Задание детям: Сделать чертеж в тетради в клеточку и вырезать из бумаги модели этих досок.

Вопрос: «На модели сходится, а в натуре сойдется?»

Ученикам надо доходчиво объяснить, что эти задачи они будут решать в дальнейшем на уроках геометрии в разделе «Подобие».

Задача 3. Наблюдая за солнечными лучами ребята замечают, что свет от одной точки до другой распространяется по прямой, выбирая кратчайший путь, равный длине отрезка между этими точками.

Вопрос: «По какому пути распространяется свет, если он идет от одной точки к другой не прямо, а отображаясь от поставленного на его пути зеркала? Выбирается ли при этом свет наименьшее расстояние?»

Задача 4. При пошиве платья остался кусок материи треугольной формы из которого необходимо сшить передник прямоугольной формы.
Задача состоит в том, чтобы раскроить (разрезать) треугольник так, чтобы из получившихся частей можно было сшить передник прямоугольной формы (с наименьшими отходами материи).

Задача 5. «Очень геометрическая»
Необходимо закрыть пленкой большой парник (2,5 х 1,7). Шаг за шагом измеряются размеры разных частей парника – в виде разных геометрических фигур:

И по размерам эти фигуры вырезаются из пленки. Эти задачи решает наука геометрия. Измерение длин известно из начальной школы, а при изучении измерения площадей, объемов и углов легче всего разъяснить практическую необходимость измерения объемов. Поэтому введение в геометрию удобно продолжить с изготовления литровой емкости-куба с ребром в 1 дм. При этом внимание учащихся обращается на то, что для изготовления этого куба нужно иметь шесть квадратов со стороной в 1 дм и при склеивании их нужно прикладывать друг к другу определенным образом. Учащиеся получают очень важный опыт: дети измеряют, чертят, вырезают.

В дальнейшем добавляются вычисления по формулам. Можно разрезать литровый куб пополам. Получаются многогранники, называемые призмами.

Чему же равен объем призмы?

В первом случае мы делим пополам высоту куба, а основание не трогали. Вообще, если не изменять основание, а изменять только высоту, то объем изменится во столько же раз.
Во втором случае мы не трогали высоту куба, но в два раза уменьшим площадь его основания. Так мы приходим к объяснению формулы объема призмы. Учащиеся применяют эту формулу во время лабораторной работы.

Далее рассматривается вопрос об изготовлении емкости в 1/3 л. Учитель рассказывает о пирамидах, подтверждая рассуждения об объеме пирамиды демонстрацией пустотелых моделей многогранников.

Переливая воду, заполнившую сосуд-пирамиду, в сосуд-призму (с тем же основанием и высотой) школьники убеждаются в существовании зависимости между объемами рассматриваемых тел. Так устанавливается формула для вычисления объема пирамиды. Пока основания-прямоугольники, площадь основания вычисляется просто. Но вот встречаются многогранники с основаниями другой формы. Возникает вопрос: «Как найти площадь основания, если оно не прямоугольник?»

Ответ на этот вопрос перерастает в большую тему – «Площадь многоугольника». Вначале рассказывается, что любой многоугольник можно разделить на треугольники, проведя в них диагонали. Затем демонстрируется разбиение произвольного треугольника на прямоугольные треугольники. Из формулы площади прямоугольника выводится формула площади прямоугольного треугольника. Вместе с тренировочными упражнениями по непосредственному использованию изученных формул учащиеся решают задачи на нахождение площадей боковой и полной поверхностей призм и пирамид.

Параллелограмм появляется как простейший четырехугольник. Он состоит из равных треугольников. Таким образом, появляется идея строить равные треугольники. Но для этого нужно уметь строить равные отрезки и углы. Возникает необходимость задать вопрос учащимся: «А что такое геометрическая фигура и в чем особенность геометрического метода?»

Геометрия возникла как опытная наука, но в дальнейшем геометры разработали особый метод решения геометрических задач. И именно метод отличает геометрию и всю математику от других наук: аксиоматический метод построения науки.

Особенности геометрического метода:

1. Геометрия работает не с реальными объектами. Все объекты в геометрии воображаемые.
Геометрические фигуры – фигуры воображаемые, мыслимые, их реально нет, как нет реально героев сказок.

2. В практической жизни все измерения выполняются с некоторой погрешностью, все построения приближенные, так как не существует идеальных форм, они все приближенные.
Например, возьмем биллиардный шар, но шарик для подшипника более точный, ровный.
А посмотрев через микроскоп, тоже увидим шероховатости.
Геометрия в отличии от реальной жизни предполагает, что существуют идеально точные формы и размеры, абсолютно точные измерения и построения. Но все это существует только в воображении геометра.

3. Геометру разрешается пользоваться логикой, так как последняя учит правильно рассуждать.

4. Любой геометр может рисовать, лепить из глины и т.д. Это будет что-то вроде иллюстрации к геометрическому воображению

5. Геометрия должна решать практические задачи и она должна быть одна у всех. Поэтому берутся исходные понятия и им приписываются свойства, которые их делают похожими на реальные объекты.

Можно предложить ребятам, чтобы они нашли в окружающем их мире самые «простые» объекты. Назовем их точками.

Точка – это любой реальный объект, если его размеры существенно меньше, чем погрешность, с которой мы измеряем расстояние в данной задаче,

Или

Точка – это предельно точно указанное место или любой объект, если по условиям задачи мы не различаем в данном объекте отдельных частей.

Прямая в жизни – это объект, напоминающий туго натянутую нить.

Задания и примеры, которые могут быть предложены учащимся для усвоения понятий точек и прямых:

• Указать количество звезд, входящих в созвездие «Большая Медведица». По карте звездного неба определить расстояние между этими звездами. Выводы, которые должны сделать для себя учащиеся: «Для каждой звезды предельно точно указанное место, размеры звезд несущественны по сравнению с размерами Галактики, следовательно, эти объекты мы можем считать точками».
• Самолет, видимый на небосклоне. На пульте управления фиксируются его координаты в виде точек в определенные моменты времени. Для диспетчера размеры самолета несущественны, несмотря на то, что он движется.
• Луч солнца в реальной жизни воспринимается как часть прямой, которая продолжается в бесконечности, если на пути не встречается с другими объектами.
• Принято считать, что между Москвой и Санкт-Петербургом 650 км. На карте Москва и Петербург – точки, расстояние между ними – прямая (отрезок).

Необходимо объяснить учащимся, что в реальной жизни все прямые имеют начало и конец, поэтому у Евклида они называются отрезками. И исключительно из удобства при теоретическом построении геометрии прямые мыслятся бесконечно продолженными в одну сторону и в другую.

А вот существуют ли в геометрии непересекающиеся прямые – это вопрос, на который еще предстоит в дальнейшем ответить.

Далее изучается построение равных отрезков и углов, но перед этим объясняется, что такое равенство фигур.

Представим себе две плоскости. Под словом «наложение» будем понимать: «Плоскость положить на плоскость». Наложение – это совмещение двух плоскостей (они не растягиваются, жесткие). А математики говорят: «Наложить плоскость саму на себя». При этом мы можем переворачивать плоскости.

И если при наложении фигуры удается совместить всеми своими точками, то они называются равными.

Таким образом, в процессе изучения основных тем геометрии: равенство фигур, подобие, взаимное расположение прямых и др., геометрия отвечает на вопросы: «Какие предметы называются одинаковыми, как сделать их одинаковыми, как проверить их равенство».

Одинаковых объектов вокруг нас много - это тетради, паркетики, доски и т.п.

Перед учениками ставится вопрос: «Зачем человеку понадобилось делать одинаковые вещи?»

Ученики приходят к выводу: «Во-первых, это красиво, во-вторых – это основа современной жизни вообще, основа современного производства».

После этого можно перейти к построению треугольников. Вначале требуется построить треугольник, у которого известны три стороны и три угла.

Учащиеся начинают работу по-разному, но всякий раз оказывается, что им достаточно использовать только три из шести условий. Остальные три служат для контроля за точностью построений. Постепенно приходим к мысли о возможности задать треугольник тремя элементами и решаются задачи на построение треугольников по трем заданным параметрам. Задачи на построение вызывают у учащихся интерес, способствуют активизации их мыслительной деятельности, ребята учатся рассуждать, совершенствуют навыки геометрических построений. В результате у них развиваются конструктивные способности, что является одной из целей изучения геометрии.

На тему «Равенство фигур» можно подобрать множество интересных задач, которые помогут ученикам ответить на вопросы: «Зачем человеку понадобилось делать одинаковые вещи» (Во-первых, это красиво, во-вторых, это основа жизни вообще, основа современного производства).

Аналогичный подход осуществляется при изучении основных тем: «Подобие», «Взаимное расположение прямых» с подбором интересных задач из практической жизни.
«Две взаимно перпендикулярные прямые»

Геометрия должна объяснить, как добиться такого расположения прямых. В жизни оно встречается часто, так как это удобно при изготовлении, сборке предметов и т.д. А в природе: «Как часто?». Ученики легко приведут примеры параллельных прямых, часто встречающихся в жизни и редко в природе.
==рамка с картиной=== два дерева

Когда ученики начнут понимать геометрию Эвклида, можно и поговорить с ними о другой геометрии – Лобачевского, в свое время непризнанной, а теперь эта геометрия стала равноправной вместе с геометрией Эвклида.

Используемая литература:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. «Геометрия. Учебник для 7-9 классов», М.
2. Житомирского В.Г. «Геометрия для малышей» - Москва «Педагогика», 1978
3. Медяник А.И. «Учителю о школьном курсе геометрии», М. – Просвещение, 1994 г.
4. Перельман Я.И. «Живая математика», М. Наука, 1970