Формирование у учащихся навыков самоконтроля и самоанализа

Каждый учитель хочет дать ученику качественные знания, т.е. научить осознанному, вдумчивому решению задач и упражнений, а не формальному применению изученных формул и теорем.

Безусловно, без ошибок в этом процессе не обойтись. Но отношение к ошибкам ученика может быть разным: можно просто снизить оценку за допущенную ошибку (в этом случае, чаще всего, единственной реакцией ученика на собственную ошибку будет чувство обиды или досады из-за сниженной оценки), а можно научить его не бояться делать ошибки, но вовремя распознавать их и исправлять, т.е. учить самоанализу и самоконтролю.

Именно тогда, когда ответственность за правильность выбранного решения ученик переложит на себя, когда у него появиться ощущение, что только он сам, а не учитель, может отыскать выход из создавшейся ситуации, что только от качества его собственной работы зависит конечный результат – только тогда ученик сможет перестать ошибаться.
Понятно, что такой подход к устранению ошибок требует дополнительные затраты драгоценного времени урока, но он принесёт несомненную пользу в качестве знаний учащихся и в формировании у них критической направленности мышления.

Приведём примеры заданий, формирующих у учащихся навык в нахождении ошибок.

Работа над определениями понятий.

На слух такие задания воспринимаются тяжело, поэтому нужно дать возможность сравнивать определения или понятия визуально (на карточках или на экране).
Средний ученик способен сличить определения на формальном уровне (пропуск слов в словесной формулировке, перестановка слов). Более сильные ученики сличают определение на содержательном уровне, когда сопоставляют существенные признаки понятия.

Например:
Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.

Затем даём формулировку, в которой отсутствует слово «всех», затем слово «плоскости», затем слово «равноудалённых», затем безошибочное определение, но записанное иначе, т.е. выполняется качественный анализ определения окружности.

• Окружностью называется фигура, которая состоит из точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости.
• Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек, равноудаленных от данной точки плоскости.
• Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, от данной точки плоскости.
• Фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки плоскости называется окружностью.

На следующем уроке, когда эталонное определение уже выучено, можно предложить ученикам записать определение своими словами, поменяться тетрадями и отрецензировать работу товарища.
В последующем такой вид работы поможет «улавливать» ошибки на слух, т.е. анализировать устные ответы.

Изучение формулировок теорем.

Аналогичная работа проводиться и с формулировками теорем.

Например:

После изучения теоремы о вертикальных углах предлагается учащимся оценить следующие высказывания:

• Вертикальные углы равны.
• Невертикальные углы равны.
• Вертикальные углы не равны.
• Невертикальные углы не равны.

На следующем уроке, когда теорема выучена, предлагаем оценить следующие утверждения:

• Если углы вертикальные, то они равны.
• Если среди всевозможных пар рассматривать только пары вертикальных углов, то о каждой такой паре можно утверждать, что входящие в неё углы равны между собой.
• Равные углы вертикальны.
• Неравные углы невертикальны.

Затем предложить записать в тетрадь формулировку теорем своими словами и отрецензировать работу соседа.

Отработка формул

При изучении формул
〖(а-в )〗^2=а^2-2ав+ в^2

На первом этапе формулы для сопоставления

• 〖(а-в )〗^2=а^2-2ав+ в
• 〖(а-в )〗^2=а^2-ав+ в^2
• 〖(а-в )〗^2=а^2+2ав+ в^2
• 〖(а-в )〗^2=а^2-2ав- в^2

Эти формулы имеют внешнее сходство, но внутренние отличия.

На втором этапе для сравнения используем формулы, но записанные в непривычном порядке, так и содержащие ошибку.

• 〖(а-в )〗^2=а^2+ в^2-2ав
• 〖(х-у )〗^2=х^2+ у^2-2ав
• 〖(m-n )〗^2=m^2-2mn- n^2
• 〖(p-t )〗^2=〖2pt+p〗^2- t^2
• 〖(p-t )〗^2=-2pt+p^2+ t^2

Работа над ошибками в преобразованиях

① После того как рассмотрен эталонный пример, можно предлагать учащимся два типа заданий на нахождение ошибок:

Называем вид ошибки, не указывая место её нахождения;
Предлагаем ученику определить характер ошибки самостоятельно, но при этом точно указываем место, где она находиться.
На первом этапе сличаемые записи максимально развернуты и подробны, на втором этапе – нет.

Например:

Эталон
〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^4+ a^2

Сопоставляемые преобразования на первом этапе в первой группе.
Эталон

• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^4+ a^2
• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3+2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^5+2a^4+ a^2

Ошибка допущена при возведении степени в степень.

Сопоставляемые преобразования на первом этапе во второй группе.

Эталон

• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^4+ a^2
• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3∙1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^3+ a^2

Ошибка допущена при возведении умножении степеней.

Сопоставляемые преобразования на втором этапе в первой группе.

Эталон

• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^4+ a^2
• 〖(a^3+a )〗^2 〖=a〗^6+a^3+ a^2

Ошибка допущена в формуле квадрата суммы.

Сопоставляемые преобразования на втором этапе во второй группе.

Эталон

• 〖(a^3+a )〗^2=〖(a^3)〗^2+2∙a^3∙a+ a^2=a^(3∙2)+2∙a^(3+1)+ a^2 = 〖=a〗^6+2a^4+ a^2
• 〖(a^3+a )〗^2 〖=a〗^5+a^3+ a

Характер ошибок и их место можно указывать устно.

На втором этапе аналогичные задания ученики могут делать самостоятельно, подчёркивая ошибку и исправляя её.
Очень эффективны такие задания перед контрольной работой. Учитель анализирует предстоящие задания, выделяет наиболее вероятные ошибки при их выполнении и именно с такими ошибками составляет задания.

② При составлении задач с намеренными ошибками по геометрии задачи можно условно разделить на четыре группы:

Намеренно допущена ошибка в какой-либо теореме. Надо найти ошибку и верно сформулировать теорему.

Теорема сформулирована неполно. Ученик должен выявить незаконные следствия из неполных теорем.

Например.

• ∆ АВС - равнобедренный. АМ - биссектриса. Биссектриса равнобедренного треугольника является медианой и высотой. Следовательно, М – середина ВС и угол АМВ – прямой.

Пропущено «проведённая к основанию», при отсутствии этих слов получается, любая биссектриса является медианой и высотой, но это не так.

Задача содержит данные, которые противоречат друг другу.

Например.
∆ АВС - равнобедренный.
∟1 = 100˚
Найти ∟2.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, в этом треугольнике два угла равны 100˚, но это противоречит теореме о сумме углов треугольника.

Задача, содержание которой противоречит определённым условиям.

Например.

• Определить наибольший угол ∆ АВС, если АВ = 10 см, ВС = 2 см, АС = 7 см.

Такого треугольника не существует.

③ Рассмотрим ряд примеров, которые показывают, как простейшие арифметические вычисления помогают ученику избавиться от типичных алгебраических ошибок.

√(х^2+1) = √(х^2 ) + √1 = х + 1

Если в очередной раз сказать ученику: «Так нельзя!», то долговременного эффекта это не дает. Подсказав нужную теорему, мы лишь загружаем оперативную память ученика.
Необходимо добиться понимания и осознания ошибки. Почти универсальный совет: проверьте написанное равенство при х = 1.

√(1^2+1) = √(1^2 ) + √1 = 1 + 1 = 2

Итак: √2 = 2

х^2/(1+х) = х^2/1 + х^2/х = х^2 + х

Совет такой же: «Проверьте при х = 1»

1^2/(1+1) = 1^2/1 + 1^2/1 = 1 + 1 = 2

Итак: 1/2 = 2

После таких «конфузов» ученик должен понять, что не учитель, а сама математика не позволяет делать подобные преобразования.
Можно также определить, при каких х имеет смысл каждое из трёх написанных выражений:

• х^2/(1+х) при х ≠ 1;
• х^2/1 + х^2/х при х ≠ 0;
• х^2 + х при любом х.

Работа с «многоэтажными дробями».
a/(b/c) = (a/b)/c

Проверим при a = 1, b = 1, c = 2.
1/(1/2) = (1/1)/2
Имеем: 2 = 1/2

Вывод: лучше добавить скобки, чем рисковать.
Девиз всей алгебры преобразований: «Скобки лишними не бывают»
Чтобы не делать ошибок или заметно их количество, можно познакомить учеников с некоторыми правилами.

Правило ГАИ

Большинство аварий происходит при небольшой скорости. Т.е. ошибки чаще всего возникают в простых ситуациях. В частности, нужно проверять с особой тщательностью, верно ли списано условие задачи; верно ли решено возникшее в процессе решения задачи уравнение и т.п. Окончанию решения задачи обычно уделяется минимум внимания – все трудности позади. Именно в конце чаще всего появляются ошибки. Поэтому начинать поиск лучше с конца.
Получив неверный ответ, ученик иногда не знает, что с ним делать. 

Правило «Нет худа без добра»

Лучше неверный ответ, чем никакого. Подставляя полученное значение корня последовательно от конца к началу в каждое из написанных соотношений, можно найти ошибочный переход.

Правило закройщика «Стежок вперёд, затем назад, ещё вперед – и снова назад»

Также и при выполнении преобразований нужно двигаться вперёд, оглядываясь назад, т.е. проверять результат обратным преобразованием. Например, вынесли общий множитель за скобки – раскройте скобки и посмотрите, получится ли прежнее выражение

Правило программиста.

Работай блоками. Следует разбить работу на небольшие автономные блоки и проверить правильность каждого такого блока.

Правило лабиринта «Начни сначала»
Если задача решается при наличии неограниченного количества времени, можно попробовать решить её другим способом и затем сверить ответы.

Формирование у учащихся навыков самоконтроля и самоанализа – дело ни одного дня. Это кропотливая работа, которую необходимо начинать уже в 5 классе.

Задача учителя на данный момент – не просто научить выполнять то или иное задание, а научить ученика проверять себя. Ученик должен понимать, что это не менее важно, чем решить задачу.

Реалии сегодняшнего дня, когда и девятиклассникам, и одиннадцатиклассникам сидеть наедине с КИМами ОГЭ и ЕГЭ четыре часа и цена ошибки – это цена их будущего, заставляют заниматься этой работой обязательно.