Проблемная организация урока математики

Обучению не только готовым знаниям, но и деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемых в математике, созданию ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач и призвано служить проблемное обучение. 

Проблемная организация обучения предполагает некоторые сложности для учителя. Конечно, легче придерживаться какого-то рецепта, что и как делать, чем самому строить процесс совместного с учащимися поиска. Но и результат совершенно иной. Что же касается учащихся, то их приобщение к деятельности по приобретению новых знаний – наиболее верный путь повышения их интереса к ним как к результату собственной деятельности. Ученик становится в какой-то мере творцом своего знания и своего умственного развития. При таком обучении создаются ситуации, которые стимулируют открытия учащихся. Когда ученик что-то открывает для себя, хотя это давно открыто в математике, он рассуждает как первооткрыватель. То что в народе в негативном смысле именуется изобретение велосипеда, становится одним из важнейших принципов современной дидактики математики.
Проблемная организация урока математики может быть осуществлена с меньшим или большим ролевым участием школьников в его проведении. 

Под ролевым участием школьников в учебном процессе понимается самостоятельное выполнение ими тех функций, которые при обычной организации учебного процесса выполняются самими учителями. 

Учитель в учебном процессе выполняет очень много различных ролей: он ставит цели, задачи перед учащимися, он разрабатывает сценарий проведения уроков, методику изучения каждой новой темы, он излагает учебный материал, дает задания учащимся, показывает выполнение тех или иных действий, контролирует выполнение этих заданий, устанавливает уровень овладения учащимися учебным материалом, оценивает этот уровень, помогает учащимся ликвидировать отставание и т. д. Ролевое участие школьников означает, что часть этих ролей вместо учителя выполняют сами ученики, но под руководством и контролем учителя. 

На практике можно применить два варианта проблемной организации урока математики. 

Для предмета математики можно предложить такое структурирование предмета, когда изучение каждой темы делится на следующие этапы:

1. первичное ознакомление с новым теоретическим или практическим учебным материалом; 
2. овладение новым учебным материалом (повторение, закрепление, тренировка); 
3. анализ и обобщение изученного учебного материала за определенный промежуток времени; 
4. контроль и оценка результатов учебной деятельности за определенный промежуток времени. 

Рассмотрим, из каких элементов должна состоять проблемная организация каждого этапа и с помощью каких приемов могут быть осуществлены эти элементы. 

Первичное ознакомление с новым учебным материалом.

Проблемная организация этого этапа предполагает, что он должен состоять из следующих элементов:

• создание проблемной ситуации; 
• включение учащихся в проблемную ситуацию и постановка (формулирование) учебной цели; 
• решение проблемы; 
• анализ, обобщение и оценка работы по решению проблемы и осуществлению учебной цели. 

Проблемные ситуации в данном случае могут быть двух типов:

• познавательные и исследовательские. 

Познавательные проблемные ситуации для первичного ознакомления с новым учебным материалом могут быть созданы разными приемами: рассказом учителя о практической или теоретической роли изучаемого явления, процесса, события или понятия, закономерности; рассказом об истории научного открытия того понятия или закономерности, которое будет изучаться; постановкой перед учащимися практической или теоретической задачи, для решения которой необходимо изучение предстоящей темы и т. д.
Рассмотрим примеры создания проблемных ситуаций на уроке. 

Пример 1. Приступая на уроках математики к изучению теоремы Пифагора, учитель может создать проблемную ситуацию следующим образом.
«Древнегреческий математик Пифагор, - рассказывает учитель. – путешествуя по Египту, узнал, что там для построения на земле прямого угла поступают следующим образом: берут веревку, которая состоит из трех частей – отрезков длиной в 3, 4, 5 единиц длины, и строят из нее треугольник, приняв за его вершины узлы между частями веревки, соединив начало ее и конец. Пифагор задумался: какое свойство прямоугольного треугольника лежит в основе этого способа построения прямого угла?
Это свойство нам и нужно изучить, оно называется теоремой Пифагора». 

Пример 2. При изучении темы «Квадратные уравнения» учащимся предлагается составить уравнения по условиям нескольких задач, причем таких, чтобы получились квадратные уравнения. При этом подбираются такие задачи, чтобы составление уравнений не требовало усилий. Затем записываются полученные уравнения и предлагается учащимся их решить. Используя приемы решения линейных уравнений, они убеждаются в безуспешности попыток. Возникает проблемная ситуация: нужно найти какие-то новые способы решения этих уравнений. 

Исследовательские проблемные ситуации создаются теми же способами, что и познавательные, отличие от последних состоит в том, что постановка проблемы у них иная. Если познавательная проблема состоит в том, что бы познать что-то, рассмотреть и выяснить что-то, то исследовательская проблема состоит в установлении причины, почему происходит то или иное явление, как разрешить видимое противоречие и что для этого нужно сделать и т. д. 

Например, приступая на уроках геометрии к изучению темы «Объем пирамиды», учитель сообщает учащимся, что в математике доказано, что пирамиду нельзя разрезать на конечное число частей, из которых можно было бы сложить равновеликий куб. Доказательство этого положения очень сложно и нам придется принять его без доказательства, но легко убедиться на опыте, что объем пирамиды в три раза меньше объема призмы, у которой одинаковые с пирамидой основание и высота. Затем учитель демонстрирует этот опыт, имея модели пирамиды и призмы с одинаковыми высотами и основаниями, изготовленными, например из жести. Переливая воду из емкости пирамиды три раза в емкость призмы, учащиеся наглядно убеждаются в справедливости высказанного положения. 

После этого учитель ставит перед учащимися исследовательскую проблему: как же тогда строго доказать справедливость результата опыта? Ведь в планиметрии формулы площадей многоугольников, в частности треугольника, мы находим методом разрезания фигуры на части и последующего складывания из них прямоугольника, а объем пирамиды так найти нельзя. Как же быть? 

Создав тем или иным приемом познавательную или исследовательскую проблемную ситуацию, надо затем включить всех учащихся в эту ситуацию, для чего поставить перед ними учебную цель. Ясно, что не все учащиеся сразу улавливают, в чем состоит проблема. Поэтому, создав проблемную ситуацию, учитель должен четко сформулировать сущность проблемы, убедиться, что все учащиеся поняли эту сущность, а затем назвать и записать учебную цель по разрешению проблемы. 

Например, в приведенной проблемной ситуации из курса стереометрии, учитель ставит сначала такой вопрос: в чем же состоит проблема? Поле обсуждения он уточняет, что проблема состоит в том, чтобы найти точную формулу для вычисления объема пирамиды, не разрезая ее на конечное число частей. А что нам известно в пирамиде? Выяснив это, он окончательно формулирует учебную цель: найти объем произвольной пирамиды, зная площадь ее основания и высоту. При этом учитель особо подчеркивает, что проблема сводится к нахождению особого метода вывода искомой формулы, ибо ведь саму формулу можно заранее предсказать на основе результата проведенного опыта. 

Третий элемент – разрешение проблемной ситуации и осуществление учебной цели – может быть проведен в различной форме: в виде фронтальных, индивидуальных и коллективных занятий. Как правило, необходимо органически сочетать все эти формы занятий. Но главное состоит в том, чтобы все эти занятия проходили именно как занятия по разрешению основной проблемы и её подпроблем. 

Конкретно это означает, что, приступая к разрешению основной проблемы и осуществлению учебной цели, учитель должен поставить перед учащимися вопрос: нам нужно узнать (исследовать, установить и т. д.) то-то и то-то, а что для этого мы должны в первую очередь сделать? А затем? Такие вопросы и их обсуждение должны предварять все занятия этого этапа первичного ознакомления с новым учебным материалом. 

Пример 1. Тема: «Свойства числовых неравенств». 

При доказательстве неравенства a + c > b + c, если а, b и c – любое число, учитель напоминает учащимся, что для отыскания способа доказательства рекомендуется заменить понятия их определениями.
Учитель просит учащихся вспомнить, при каком условии a > b. Учащиеся: по определению a > b, если разность a – b положительна. Учитель: что достаточно знать для доказательства неравенства a + c > b + c?
Учащиеся приходят к выводу, что достаточно доказать: разность (a + c) – (b + c) положительна.
Учитель просит попытаться учащихся доказать это. Раскрывая скобки, они получают (a + c) – (b + c) = a + c – b – c, но a – b – положительное число, так как a > b. 

Пример 2. Перед учащимися ставится следующая учебная задача: вывести правило умножения двух обыкновенных дробей. Формулируется следующая проблемная задача. Вычислить площадь стола, длина которого 7/10 м, а ширина 3/10 м. Учителем задается вопрос: какие дроби мы умеем перемножать? Учащиеся: десятичные. Учитель: что нам необходимо сделать, чтобы решить задачу? Учащиеся: представить обыкновенные дроби в виде десятичных 7/10 = 0,7; 3/10 = 0,3. Учащиеся перемножают десятичные дроби, получают результат
0, 21. Учитель: итак, дробь 0,21 = 21/100 и далее просит проанализировать: 7/10 + 3/10 = 21/100 . Учащиеся без труда выводят правило умножения двух обыкновенных дробей. 

Четвертый элемент первичного ознакомления имеет огромное значение в правильном и осознанном усвоении нового учебного материала. Анализируя и обобщая проделанную учебную работу, надо особо подчеркнуть её познавательный, исследовательский характер, добиваться осознания всеми учащимися сущности разрешенной проблемы. Здесь используются самые различные приемы: обобщаются беседа, дискуссия по одному из основных вопросов темы, составление учащимися схемы введенных понятий и их связей и отношений, составление ими набора вопросов или задач для контроля уровня усвоения пройденного учебного материала с последующим обсуждением этих вопросов или задач и т. д. 

Наряду с развернутой качественной оценкой учителем учебной работы каждого учащегося, необходимо широко применять различные формы самооценки, добиваясь её адекватности объективной оценке. Например по заданию учителя все учащиеся самостоятельно составляют список теоретических понятий и навыков, с которыми они познакомились на этом этапе обучения, и пишут на листочках самооценку усвоения каждого элемента из этого списка. Последующее коллективное обсуждение выявляет полноту или неполноту этих списков и адекватность самооценок. 

Можно применять взаимооценку учащимися результатов учебной работы, тематический зачет и другие формы. 

Овладение новым учебным материалом (повторение, закрепление, тренировка)
Главное отличие проблемной организации этого этапа от предыдущего состоит в том, что здесь используются не познавательные и исследовательские проблемные ситуации, а учебные. 

Учебные проблемные ситуации могут быть созданы путем четкой постановки перед учащимися учебной задачи, направленной на овладение сущностью теоретического учебного материала и общими способами решения широкого класса задач. При этом важно, чтобы учащиеся ясно осознавали различие между результатом учебной работы, в частности, получением решений задач, и общими методами этой работы – общими способами решения задач данного вида. 

Достичь этого можно разными приемами.
Для повторения и закрепления теоретического учебного материала учебная проблемная ситуация может быть создана, например, таким образом. Учитель напоминает с какими понятиями учащиеся познакомились на первом этапе. Затем ставит такие вопросы, которые заведомо вызовут у учащихся затруднения и может быть неверные ответы. После этого он ставит учебную задачу: «Как видите, вы еще недостаточно хорошо разобрались в сущности введенных понятий. Вам нужно более глубоко овладеть этими понятиями. В этом и состоит наша очередная учебная задача». 

Пример 1. В 5 классе после изучения темы «Сумма и разность дробей с одинаковыми знаменателями», начав урок с повторения правил нахождения суммы и разности дробей с одинаковыми знаменателями и проверки навыков работы с дробями, учитель предлагает учащимся решить следующие примеры: 1 - 5/8; 1 - 8/13. В случае, если учащиеся затрудняются в выполнении задания, учитель напоминает, что в начале изучения обыкновенных дробей, изучались дроби, которые равны 1. И просит вспомнить, какие это дроби и привести ряд примеров. Учащиеся вспоминают, что дробь равна единице в том случае, если числитель дроби равен знаменателю. Возвращаясь к примерам, дети видят необходимость заменить 1 дробью со знаменателем 8 в первом примере, 25 во втором и 13 в третьем. И легко находят решение. Далее учитель предлагает решить такой пример: 1 + 9/13. По логике рассуждения в решении предыдущих примеров учащиеся решают 1 + 9/13 = 13/13 + 9/13 и получают результат 22/13. Они замечают, что дробь неправильная и выделяя целую часть из неправильной дроби получают результат 19/13, учитель подводит учащихся к выводу правила нахождения суммы целого и дробного числа. 

Пример 2. Решая задачу «На берегу озера расположены две деревни, расстояние между которыми 60 км. Катер движется со скоростью 14 км/час. За какое время катер преодолеет расстояние между двумя деревнями», ученики применяют основную формулу для решения задач на движение. Решение данной задачи не вызывает затруднений у учащихся. Далее учащимся предлагается задача с таким содержанием: «На реке расположены два лагеря А и В, расстояние между которыми 60 км., катер движется из А в В по течению реки со скоростью 10 км/час. Какое время будет затрачено на дорогу из А в В, если скорость течения реки 4 км/час. И какое время будет затрачено на дорогу обратно, из В в А.» 

В условии задачи присутствует информация о движении реки, использование которой в решении вызовет затруднение у учащихся. В ходе обсуждения учащиеся приходят к выводу, что, если тело движется по течению реки, то его скорость слагается из его собственной скорости и скорости течения реки, а если против течения реки, то его скорость есть разность между собственной скоростью плавучего тела и скоростью течения реки. И решают данную задачу. 

Для закрепления и тренировки в умениях и навыках учитель может использовать такой прием: «Мы сейчас будем с вами решать задачи по или на (указывается тема). А для чего вы будете решать их? Ведь ответы этих задач известны, они помещены в конце учебника. Такие задачи уже решали миллионы других учащихся. Зачем же вы будете их решать?». После обсуждения, устанавливается, что цель решения этих задач – приобретение, овладение общими методами, способами решения этих задач, тренировка в навыках и умениях применять эти общие методы для решения конкретных задач. 

В ряде случаев полезно указывать какие-то ориентиры (нормативы) для самоконтроля и самооценки учебной работы по овладению умениями и навыками. 

Таким образом, организация этого этапа учебного процесса состоит из трех элементов: создание учебной проблемной ситуации и постановка учебной задачи, её осуществление, контроль и оценка результатов учебной работы каждого ученика.
Анализ и обобщение изученного учебного материала за определенные промежутки времени. 

В качестве промежутков времени, за которое проводится анализ и обобщение учебного материала, обычно берется время изучения какой-то темы или раздела учебной программы. При этом главной целью анализа и обобщения является выявление системы изученных знаний, их межпредметных и внутрипредметных связей. 

Поэтому основные проблемы, которые должен ставить учитель на этом этапе учебного процесса, являются познавательные и исследовательские проблемы выявления связей и отношений с понятиями других смежных предметов. Должны быть рассмотрены также проблемы технического использования изученных понятий в народном хозяйстве, в быту. 

Во всем остальном проблемная организация этого этапа проводится аналогично первому этапу.
Контроль и оценка результатов учащихся за определенный промежуток времени. 

Отличительная особенность предметной организации и этого учебного этапа от обычной организации состоит, во-первых, в характере самого контроля. Если обычный контроль носит в основном репродуктивный, воспроизводящий характер, и учитель удовлетворяется умением ученика лишь воспроизвести изученные знания и решать задачи, аналогичные решенным ранее, то проблемный контроль означает проверку умений ученика самостоятельно выявить связи и отношения между изученными понятиями, сделать из них самостоятельные выводы, перенести изученные закономерности на новые области, явления, решать задачи, содержащие какие-то новые элементы и т. д. Только такой контроль может дать представление о глубине и уровне овладения учащимися изученным материалом. 

Во-вторых, проблемная организация и оценки учебной работы учащихся предполагают широкое участие самих учащихся в её проведении, т. е. Контроль и оценка должны постепенно по мере взросления учащихся заменяться самоконтролем и взаимоконтролем и оценкой. Учитель должен лишь ненавязчиво корректировать и направлять учащихся на взаимный и самоконтроль, и оценку. 

Однако, это не исключает необходимости проведения самим учителем заключительного контроля и оценки уровня знаний и умений учащихся в конце изучения темы или большого раздела учебной программы в виде, например, зачета. 

Список литературы.

1. Махмутов М.И. Проблемное обучение: основные вопросы теории. М: Педагогика, 1975 г. 
2. Махмутов М. И. Организация проблемного обучения в школе. М: Педагогика, 1977 г. 
3. Фридман Л.М., Маху В. И. Проблемная организация учебного процесса. М:АПН СССР, НИИ общ. и пед. психологии, 1990 г.