Неравенства. Подготовка к ЕГЭ.

ТЕМА:
НЕРАВЕНСТВА
ПОДГОТОВКА К ЕГЭ


Карпова Елена Геннадиевна
ГОУ СОШ №1385

Рациональные неравенства.
Областью определения неравенства f(x)>g(x) называется множество таких значений х, при которых и функция f(x), и функция g(x) определены. Иными словами, область, область определения неравенства f(x)>g(x) - это пересечение областей определения функций f(х) и g(x).
Частным решением неравенства f(x)>g(x) называется всякое удовлетворяющее ему значение переменной х. решением неравенства называется множество всех его частных решений.
Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если их решения совпадают.
Основные преобразования, приводящие к равносильным неравенствам. 1)Если к обеим частям неравенства прибавить одну и ту же функцию φ*(х), которая определена при всех значениях х из области определения исходного неравенства, и при этом оставить без изменения знак неравенства, то
получится неравенство, равносильное исходному.
Таким образом, неравенства
f(x)>g(x) и f(x)+φ(x)>g(x)+φ(x) равносильны.
2)Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) но
одну и ту же функцию φ(х), которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только положительные значения, и при этом оставить без изменения знак исходного неравенства, то получиться неравенство, равносильное исходному.
Таким образом, если φ (х)>0, то неравенства
f(x)>g(x) и f(x)* φ (х) >g(x)* φ (х) ( или f(x)/φ (х) >g(x)/φ (х) равносильны.)
Вытекает следствие.
Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) на одно и тоже положительное число, сохраняя знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному
3)Если обе части неравенства умножить или разделить на одну и ту же функцию φ (х), которая при всех значениях х из области определения исходного неравенства принимает только отрицательные значения, и при этом изменить на противоположный знак неравенства, то получится неравенство, равносильное исходному. Таким образом, если φ (х)<0, то неравенство f(x)>g(x) и f (x)* φ (x)<g(x)* φ (x) ( или f (x)/ φ (x)<g (x)/φ (x) равносильны.
Следствие.
Если обе части неравенства умножить ( или разделить ) на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
4)Пусть дано неравенство f(x)>g(x), причём f(x)>0 и g(x)>0 при всех х из области определения неравенства. Если обе части неравенства возвести в одну и ту же натуральную степень n и при этом знак неравенства оставить без изменения, то получится неравенство ( f(x))n g(x) )n равносильно данному.
Cистемы и совокупность неравенств.
Несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств в том случае, если ставится задача об отыскании всех тех значений переменной, каждое из которых удовлетворяет по крайней мере одному из неравенств.
Решением системы неравенств является пересечение решений неравенств, а решением совокупности неравенств является объединение решений неравенств.
Если неравенства f1(x)>g1(x) и f2 (x)>g2(x) образуют систему неравенств, то и записывают с помощью фигурной скобки.

Если неравенства f1(x)>g1 (х) и f2(x)>g2 (x) образуют совокупность неравенств, то их записывают с помощью квадратной скобки.
1)Решите систему неравенств.
2х2-5х+2=0
D=25-16=9

Oтвет :[1;2)
2.

Ответ (-5; -3/2) (1/2;1)
3). |x+5| >1
Неравенство равносильно совокупности систем.
I x+5 ≥0 II x+5<0
x+5>1 -x-5>1
I x≥-5
x>-4 x€ (-∞;-4)
II x+5<0 x<-5
-x>6 x<-6 x€ (-∞;-6)
Ответ: (-∞;-6) U (-4; ∞)
4) |2x -1| <|4x+1|
I 2x-1<0 2x-1>0 2x-1<0 2x-1<0
4x+1≥0 или 4x+1<0 или 4x+1>0 или 4x+1<0
2x-1<4x+1 2x-1<-4x-1 -2x+1<4x+1 -2x+1<-4x-1
I x≥1/2
x≥-1/4 x≥1/2
x>-1
II x>1/2
x>-1/4 ø
x<0
III x<1/2
x<-1/4 (0;1/2)
x<-1
IV x<1/2
x<-1/4 x€ (-∞;-1)
x<-1
Ответ: (-∞;-1)U (0; ∞)
Метод интервалов.
1)Всё переносим в левую часть 2
)Находим область определения.
3)Находим нули функции
4)Отмечаем нули функции и область определения на числовой прямой
5)Исследуем и расставляем знаки.
6)3аписываем ответы.
Правила расстановки
1)Проверяем значение функции. Если все линейные множители различные, то знаки функции будет чередоваться, причём если у всех двучленов коэффициенты при х
положительны, то при х > большего из нулей двучленов положительны, а затем все знаки чередуются.
2) В разложении левой части неравенства могут встречаться одинаковые множители, если их четное число, т.е. показатель члена четный, то функция сохраняет постоянный знак, а при нечетном меняет при переходе через точку.

Пример 1. Решить неравенство .
Решение.
Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:
Пример 2. Решить неравенство .
Решение.
, умножив неравенство на -1 и разложив квадратный трёхчлен на множители , получим неравенство равносильное данному в условии неравенству
.
Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:
Пример 3. Решить неравенство .
Решение.
, умножив неравенство на -1 и разложив квадратные трёхчлены на
множители , , получим неравенство равносильное данному в условии неравенству
.
Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:
Пример 4. Решить неравенство .
Решение.
умножив неравенство два раза на -1, разложив
квадратные трёхчлены на множители , ,
и учитывая, что , получим неравенство
равносильное данному в условии неравенству
.
Нули множителей: , , , , , .

Итак, Ответ:
Пример 5.
Решение.

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:

Пример 6. .
Решение.
,
.
Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:
Пример 6. Решить неравенство .
Решение.
,

Нули множителей: , .

Итак, . Ответ: .
Пример 7. Решить неравенство .
Решение.
, умножив неравенство на -1, разложив квадратные трёхчлены на множители и , получим неравенство равносильное данному неравенству
,

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:
Пример 8. Решить неравенство .
Решение.
, , , ,
разложив квадратный трёхчлен на множители , получим неравенство равносильное данному неравенству:
,

Нули множителей: , , , .

Итак, Ответ:
Пример 9. Решить неравенство .
Решение.
, , , , , ,

Нули множителей: , , .

Итак, Ответ:
Пример 10. Найдите число целых решений неравенства .
Решение.
,
, разложив квадратные трёхчлены на множители
, , , получим неравенство равносильное данному неравенству.
, ,
, ,

Нули числителя: , .
Нули знаменателя: , , .

Итак, Целыми решениями будут:
Ответ: неравенство имеет 4 целых решения.
Пример 11. Решить неравенство .
Решение. Алгебраическую дробь, стоящую в левой части неравенства обозначим через f(x) и построим знаковую кривую для функции f(x) = .
Узлы функции – точки 2, –3, 0, 1 – отмечаем на числовой прямой в порядке возрастания и выкалываем полюсы – точки 0 и 1 . Функция f(x) представлена стандартным разложением, а потому знаковую кривую проводим справа сверху.

Неравенство равносильно условию f(x)  0, а следовательно, нужно найти все значения х, для которых выполнено это условие.
По знаковой кривой определяем, что это промежутки [–3; 0) и (1; 2]. Объединение этих промежутков есть решение неравенства.
Ответ: [–3; 0)  (1; 2].
Пример 12. Решить неравенство , где V обозначает один из знаков неравенства >, , <,  .
Решение. Обозначим левую часть неравенства функцией f(x), расположим ее узлы на числовой прямой, а затем построим ее знаковую кривую. По виду знако-

вой кривой определяем, что: решением неравенства является множество (х3; х4)  (х2; +);
решением неравенства является множество [x3; x4)  [х]  [x2; +);
решением неравенства является множество (–; x3)(х4; х1)  (х1; х5)  (х5; х2);
решением неравенства является множество (–; x3]  (х4; х5)  (х5; х2].
Пример 13. Решить неравенство .
Решение. Для левой части неравенства строим знаковую кривую. Решению неравенства удовлетворяют промежутки, для которых знаковая кривая имеет значок «+»: (–2; 0)  (3; +).

ответ: (–2; 0)  (3; +).
Пример 14. Решить неравенство , а также указать решение противоположного ему неравенства.
Решение. По количеству переменных множителей размещаем 5 точек на числовой прямой и обозначаем их в порядке возрастания: –3, –1, 0, 2, 3. Далее, выкалывая полюсы и отмечая четные узлы, проводим знаковую кривую.



Ответ: (–; –3)  (–1; 0)  [2]  [3; +).
Противоположное неравенство будет иметь вид . Его решением будет множество (–3; –1)  (0; 2)  (2; 3).
Пример 15. Решить неравенство .
Решение. Приведем разложение в левой части неравенства к стандартному виду, т.е. в каждой скобки поставим переменную х на первое место и сделаем коэффициент перед ней равным +1 (стрелками указаны коэффициенты, вынесенные из соответствующих скобок):

Семь «переменных» множителей – семь скобок; размещаем 7 точек на числовой прямой в порядке возрастания: –6, – , 0, , , 1, 2, выкалываем полюсы (точки –6, , 2), отмечаем четность соответствующих узлов и строим знаковую кривую справа снизу (общий знак определяется отрицательным множителем (-5)3 :

Ответ: (-6;– ]  [0]  [ ]  ( ; 2).
Пример 16. Решить неравенство 2х2 + 3х – 1 < 0.
Решение. Необходимо левую часть неравенства представить в виде стандартного разложения. Для этого нужно найти нули х1, х2 квадратного трехчлена и воспользоваться разложением ах2 + bх + с = а (х – х1) (х – х2).
Для нашего трехчлена 2х2 + 3х – 1 вычислим дискриминант: D = 9 + 4 • 2 • 1 = 9 + 8 = 17. Тогда его нули (корни), находим по формуле:

Исходное неравенство перепишется в виде 2 ( x – )(x+ ) < 0. Отметим
две точки на числовой прямой: – , , и проведем знаковую кривую:



Ответ: (– ; ).
Пример 17. Решить неравенство .
Решение. Левую часть неравенства приведем к виду стандартного разложения. Для этого трехчлены в нее входящие разложим по нулям, если таковые имеются, а из скобки (3 –5х) вынесем множитель –5. Покажем преобразования по фрагментам:
1) квадратный трехчлен 2х2 + 3х + 7: D = 9 – 4 • 2 • 7 < 0 - нет корней, а т.к. старший коэффициент равен 2 и 2 > 0, то 2х2 + 3х + 7 > 0 при любом х из R;
2) разность кубов: х3 – 1 = (х – 1) (х2 + х + 1), причем неполный квадрат х2 + х + 1 > 0 при любом х из R (его дискриминант отрицателен);
3) квадратный трехчлен 2х2 + 3х – 5: D = 9 + 4 • 2 • 5 = 9 + 40 = 49 = 7 2 – два корня:

тогда 2х2 + 3х – 5 = 2 (х + 2,5)(х – 1);
4) (3 – 5х) = –5 (х – ) = –5 (х – 0,6).
Неравенство принимает вид:

Выбросили (опустили) сугубо положительные многочлены числителя и знаменателя (отмеченные значком "> 0”) и не стали "убирать” коэффициенты –5 и 2.
Тогда для полученного неравенства знаковая кривая будет иметь вид:

Ответ: (-2,5; 0,6].
Пример 18. Решить неравенство х4 – х3 + х – 1 < 0.
Решение. Левую часть неравенства нужно привести к произведению простых множителей:
х4 – х3 + х – 1 = (х4 + х) – (х3 + 1) = х (х3 + 1) – (х3 + 1) = (х3 + 1) (х – 1) = (х + 1) (х2 – х + 1) (х ––1) = (х – 1) (х + 1) (х2 – х + 1).
Тогда неравенство принимает вид: (х – 1) (х + 1) (х2 – х + 1) < 0, причем положительный неполный квадрат (х2 – х + 1) можно опустить. Следовательно,
х4 – х3 + х – 1 < 0  (х – 1) (х + 1) < 0
Соответствующая знаковая кривая представлена на рис.30: заштрихованный промежуток является решением исходного неравенства.
Ответ: (–1; 1).
Пример 19. Решить неравенство 2х4 – 5х2 + 2  0.
Решение. Представим левую часть в виде стандартного произведения простых множителей. Для этого, положив х2 = t, t  0, сначала решим уравнение 2t 2 – 5t + 2 = 0:
D = 25 – 16 = 9 = 3 2, .
Т.о., биквадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства, можно записать в виде 2 (t – 2) (t – ) и, подставив t = x2, преобразовать далее, используя формулу разности квадратов:
2(х2 – 2) (х2 – ) = 2(х – )(х + )(х – )(х + ) = 2(х – )(х + )(х – )(х + ).
Следовательно, исходное неравенство перепишется в виде:
2 (х – )(х + ) (х – )(х + )  0.
Знаковая кривая имеет вид:
Ответ: (–; – ]  [ ]  [ ; +).
Пример 20. Решить неравенство
Решение. Нули числителя и знаменателя алгебраической дроби, стоящей в левой части неравенства, определим по теореме Виета (надпишем их сверху над свободным членом):
х2 + 5х + = (х + 1)(х + 4) и х2 – х – = (х + 2) (х + 3).
Неравенство принимает вид: 
Ответ. [–4; –2)  [–1; 3).
Пример 21. Решите систему неравенств

Решение. Каждое из неравенств системы, приводим к стандартному виду (нули трехчленов находим по теореме Виета), получаем:

Решение первого неравенства можно символически изобразить промежутками – прямыми углами: , а второго – конечным двусторонним промежутком со скошенными углами: .
Если наложить их друг на друга, то общий промежуток, определяемый пересечением этих двух множеств, и будет являться решением системы (заштриховано):

Т.о., ответом будет являться множество (–5; –4]  [–1; 3).
Ответ: (–5; –4]  [–1; 3).
Пример 22. Решить систему неравенств
Решение. Разложим трехчлены, стоящие в левой части неравенств, по нулям, построим их знаковые кривые, а затем, наложением решений (множеств) каждого из неравенств системы, находим их общую часть – решение системы:


Общая часть пересечений всех трех множеств (решений каждого из неравенств систем) есть множество [2; 3).
Ответ: [2; 3).
Пример 23. Решить неравенство (х – 1)3 .
Решение. Множитель положителен при любом х (за счет квадратной степени под корнем), поэтому он не оказывает влияния на знак левой части неравенства. Левая часть неравенства обращается в нуль в точках х = 1 и х = 0 – это узлы функции. Тогда знаковая кривая имеет вид:

По виду знаковой кривой устанавливаем, что левая часть неравенства обращается в ноль в точках 0 и 1 и положительна в промежутке (1; +). Объединяем эти множества и получаем ответ.
Ответ: [0]  1; +).
Пример 24. Решить неравенство (x2 – x – 6) .
Решение. ОДЗ определяется неравенством 1 + х  0  х  –1.
Разлагая квадратный трехчлен, приводим неравенство к виду:
(х2 – х – )  (х + 2) (х – 3) .
Соответствующая знаковая кривая с «ограничением» х  –1 имеет вид:

Т.о., решением неравенства является множество 3; +).
Ответ: [3; +).
Пример 25. Решить неравенство .
Решение. Выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным, а потому на основании свойств неравенств данное неравенство будет равносильно системе:

 х  (–; –3]  [3; +).
Ответ: (–; –3  3; +).
Пример 26. Решить неравенство .
Решение. Корень четной степени имеет смысл, если его подкоренное выражение неотрицательно. Следовательно, если (х–2)(1–2х)  0, то неравенство выполняется «автоматически» (корень квадратный, как неотрицательная величина, всегда больше отрицательного числа, в том числе, и –1). Т.о., имеем:
 (х – 2) (1 – 2х)  0  –2 (х – 2) (х – )  0

Ответ: [ ; 2].
Пример 27. Решите неравенство .
Решение. Первая скобка обращается в нуль, если х = 9, вторая скобка при любых значениях x положительна. Следовательно, нулем функции, стоящей в левой части неравенства, будет число 9. Кроме того, выражение под корнем квадратным должно быть неотрицательным, т.к. х  0. Итак, знаковая прямая с ограничением х  0 имеет вид:

Ответ: (9; ).
Пример 28. Решите неравенство .
Решение. Корень квадратный имеет смысл, если 2х – х2 + 15  0. Следовательно, для всех значений х, удовлетворяющих неравенству 2х –х2 +15  0 множитель , а потому исходное неравенство будет выполняться, если выполняется неравенство (3х – х2 – –2)  0. Тогда исходное неравенство будет равносильно системе:


  x  [–3; 1]  [2; 5]
Ответ: [–3; 1]  [2; 5].
Пример 29. Решите неравенство .
Решение. Разложим трехчлены, стоящие в числителе и знаменателе, на множители. По теореме Виета корни трехчлена x2 – 2х – 3 есть числа 3, –1, поэтому x2 – 2х – 3 = (х + 1)(х–3). Далее:
D = 1 + 8 = 9 = 32, x1,2 =
Тогда 2х2 + x – 1 = 2(x + 1)(x – 0,5). При неотрицательном числителе алгебраическая дробь неотрицательна, если ее знаменатель положителен, т.е. исходное неравенство равносильно системе:

Ответ : (–; –1)  [3; +).
Пример 30. Решите неравенство .
Решение. На основании определения модуля: для функции f(x) будем
иметь: |f(x)| =
Тогда исходное неравенство равносильно совокупности двух неравенств («распадается» на два неравенства):



В качестве решения имеем совокупность множеств (–; –3]  (–3; – ]  [0,5; +) = =(–; – ]  [0,5; + ). (Напоминаем, что символ обозначает совокупность, т.е. объединение множеств, а не их пересечение.)
Ответ: (–; – ]  [0,5; +).
Пример 31. Найти область определения функции .
Решение. Область определения D(y) задается системой неравенств:

Ответ: (–; –11)  (–11; –9)  (–9; 2]  [3; +).

Иррациональные неравенства.
При решении иррациональных неравенств используются те же приемы, что и при решении иррациональных уравнений; возведение обеих частей неравенства в одну и ту же натуральную степень, введение новых переменных.
При решении иррациональных неравенств, определяем несколько видов простейших неравенств.

1) ≥ C, где 1) C ≥0
переходим к равносильной системе
f(x) ≥0
f(x) ≥0 f(x) ≥c2
f(x) ≥c2
2) c<0
переходим к равносильной системе
f(x) ≥0

II) C, где 1) C ≥0
переходим к равносильной системе
f(x) ≥0
f(x) ≥c2

2) с<0
C – не имеет решения

III. ≥

f(x) ≥0
g(x) ≥0
f(x) ≥g(x)

IV. ≥g(x)

переходим к равносильной системе (совокупности)

f(x) ≥0 f(x) ≥0
g(x) ≥0 или
f(x) ≥g2(x) g(x) <0

V.

переходим к равносильной системе

f(x) ≥0
g(x) ≥0
f(x) ≥g2(x)

1).

3x-2 ≥0 ó 3x≥2 ó x≥
3x-2>1 3x>3 x>1

Ответ: (1;¥).

2)

≥

Ответ: [ ;4).

3).

< = > < = >


I)

II)

(-∞; ] [ ;∞)

4) <3x-5

2x+10≥0 2x≥-10 x≥-5 x ≥-5
3x-5≥ 0 < = > 3x≥5 < = > x≥ x≥
2x+10< (3x-5)2 2x+10<9x230x+25 9x2-32x+15>0 9(x-3)(x- )>0

9x2-32+15=0
D=484
x1=3; x2=
x≥
9(x-3)(x- )>0

5) >3(x+1)

I (x-3)(x+1)≥0 II (x-3)(x+1)≥0
3(x+1) ≥0 или 3(x+1)<0
(x-3)(x+1)>9(x+1)2

I (x-3)(x+1)≥0 < = > (x-3)(x+1)≥0 < = > (x-3)(x+1) ≥0
(x+1) ≥0 x ≥-1 x ≥-1
(x-3)(x+1)>9(x2+2x+1) x2-2x-3-9x2-18x-9>0 -8x2-20x-12>0

(x-3)(x+1)≥0
x ≥-2
-8(x+1)(x+1.5)>0
-8x2-20x-12=0
D=16
x1= =-1.5

x2= =-1
x≥3
-1.5<x<-1 =>θ

II (x-3)(x+1) ≥0
3(x+1)<0
Ответ: (-∞;1)
6) <2(x+4)

(x+4)(2x-1) ≥0 (x+4)(2x-1) ≥0 (x+4)(2x-1) ≥0
2(x+4) ≥0 < = > x≥-4 < => x ≥-4
(x+4)(2x-1)<4(x2+8x+16) 2x2+7x-4-4x2-32x-64<0 -2x2-25x-68<0

-2x2-25x-68=0 < = > (x+4)(2x-1) ≥0 < = > x€(-∞;-4] [1/2; ∞)
D=625-544=81 x ≥-4 x ≥-4
x1=-8.5 -2(x+4)(x+8.5)<0 x€(-∞;-8.5) (-4; ∞)
x2=-4

Ответ: [1/2; ∞)

7)

17-15x-2x2≥0 < = > -2(x+1)(x+8.5)>0
x+3>0 x>-3

-2x2-15x+17=0
D=361
x1=-8.5; x2=1
Ответ: (-3;1)
8) ;

x-1≥0 x≥1
x+2≥0 x≥-2
x-1+2 2
x≥1 x≥1
-2x-2≥0 x≤-1 = >
4(x2+2x-x-2)≤4x2+8x+4 4x2+8x-4x-8<4x2+8x+4

9)

3x+1≥0 x≥-
x-4≥0 < = > x≥4 < = >
4x+5≥0 x≥-
3x+1+2 +x-4<4x+5

x≥4 x ≥ 4
2 <8 < = > 4(3x+1)(x-4)<64 < = >

x ≥ 4 x ≥ 4 x ≥ 4
12x2+48x+4x-16-64<0 < = > 12x2-44x-80<0 < = > (x-5)(x+1 )<0
Ответ:[4;5]