|
Вычисление длины гипотенузы
|
|
|
|
Дата: Воскресенье, 07.02.2021, 12:54 | Сообщение #1
|
|
R0bur
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 23
Статус: Отсутствует
|
Здравствуйте!
Из школьного курса математики мне запомнилась одна задача.
Пусть требуется найти длину гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC. Предположим, что теорема Пифагора нам неизвестна, поэтому поступим следующим образом. Построим ломаную AB, состоящую из отрезков, пересекающих гипотенузу и параллельных сторонам AC и BC треугольника (см. рисунок). Увеличивая количество отрезков ломаной, можно сколь угодно приблизить её к гипотенузе. На этом основании будем утверждать, что длина ломаной равна длине гипотенузы.
Длина ломаной равна сумме длин составляющих её отрезков. Сумма длин отрезков, параллельных стороне AC (горизонтальных), равна длине стороны AC, а сумма длин отрезков, параллельных стороне BC (вертикальных), равна длине стороны BC. Тогда длина ломаной AB равна сумме длин сторон AB и BC.
Значит, длина гипотенузы: AB = AC + BC.
1) Верно ли решена задача? Почему?
2) Продлим вертикальные отрезки ломаной до пересечения со стороной AC. Можно ли утверждать, что при достаточно большом количестве звеньев ломаной сумма площадей прямоугольников будет примерно равна площади треугольника ABC? Почему?
Рис. Иллюстрация к задаче вычисления длины гипотенузы.
|
|
|
|
|
|
Дата: Четверг, 11.02.2021, 19:37 | Сообщение #2
|
|
Kirilych
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 7
Статус: Отсутствует
|
1) Это классическая мат. шутка. Длина ступенчатой ломаной очевидно является инвариантом, поэтому приближения к длине гипотенузы не происходит, хотя "визуально" оно как бы есть.
2) Очевидно да и очевидно почему. В чем вопрос-то?
|
|
|
|
|
|
Дата: Суббота, 13.02.2021, 19:46 | Сообщение #3
|
|
Сергеев_ЕВ
Модератор форума
Группа: Модераторы
Сообщений: 3177
Статус: Отсутствует
|
Цитата R0bur (  ) Значит, длина гипотенузы: AB = AC + BC.
1) Верно ли решена задача? Почему?
Это решение линейно, одномерно. В нём катет АС - есть горизонтальная проекция гипотенузы АВ. ВС в этой одномерной системе координат не имеет значения. Поэтому насколько бы частей мы не делили гипотенузу сумма этих отрезков всегда будет равна катету (причём любому). Даже если эти отрезки выродятся в точки, они - эти точки - всё равно будут иметь длину, в сумме составляющую гипотенузу. А весь фокус в том, что треугольник - фигура двухмерная, а предлагаемое решение - одномерное.
Что же касается площади - то да, сумма площадей прямоугольников будет стремиться к реальной площади треугольника, и чем они "тоньше", тем ближе. Вообще, это - хорошая иллюстрация к основам интегрального исчисления
Окажу помощь в создании и администрировании учительских сайтов в системе uCoz
|
|
|
|
|
|
Дата: Воскресенье, 14.02.2021, 12:12 | Сообщение #4
|
|
R0bur
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 23
Статус: Отсутствует
|
Цитата Kirilych ( ) В чем вопрос-то?
Цитата Сергеев_ЕВ ( ) Поэтому насколько бы частей мы не делили гипотенузу сумма этих отрезков всегда будет равна катету
P. S. Естественно, я не настаиваю на ошибочности теоремы Пифагора  .
|
|
|
|
|
|
Дата: Понедельник, 15.02.2021, 14:54 | Сообщение #5
|
|
Kirilych
Начинающий
Группа: Пользователи
Сообщений: 7
Статус: Отсутствует
|
Цитата R0bur ( ) Ведь "очевидно", что ломаную можно сколь угодно приблизить к гипотенузе
"Очевидно" в кавычках - да, в этом и шутка. Но "приблизить" - нет, и в этом ее разгадка. Для этого достаточно рассмотреть любые два случая - скажем, 3 ступеньки и 4 ступеньки. Мы видим, что с увеличением числа ступенек длина пути остается постоянной, не уменьшается. А значит ни к чему и не "приближается".
Второе - направление движения. Увеличивая число ступенек мы не меняем направления движения, они остаются только вверх и вправо, а на нужно другое движение - "вправо-вверх". Как бы визуально не слились наши ступеньки с гипотенузой, мы понимаем, что, "посмотрев в микроскоп", увидим ровно то же самое, что в начале, картинка просто масштабируется, но не меняется по сути.
Другое дело площади под ступеньками - перейдя от трех ступенек к четырем, мы видим, что площадь уменьшилась. Значит приближение происходит.
Это классическая задача-шутка, служащая одним из примеров для детей, что любую идею или инструмент надо применять с умом, сперва осмыслив происходящее в задаче.
|
|
|
|
|
|
Дата: Понедельник, 15.02.2021, 16:51 | Сообщение #6
|
|
R0bur
Новичок
Группа: Пользователи
Сообщений: 23
Статус: Отсутствует
|
Цитата Kirilych ( ) "посмотрев в микроскоп", увидим ровно то же самое, что в начале, картинка просто масштабируется, но не меняется по сути
Да, нам никак не удаётся избавиться от того прямоугольного треугольника, который был в самом начале. Исходная гипотенуза по-прежнему состоит из множества гипотенуз "элементарных" маленьких треугольников, и вопрос о нахождении их длины остаётся открытым.
|
|
|
|
